Persamaan Linear Tiga Variabel Bentuk Pecahan Allisya Vita Dwi Savitri (3)

Nama : Allisya Vita Dwi Savitri

Kelas : X IPS 1

Absen : 3 

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem persamaan linear tiga variabel atau disingkat SPLTV adalah suatu persamaan matematika yang terdiri atas 3 persamaan linear berderajat satu yang masing-masing persamaan bervariabel tiga (misal x, y dan z). Dengan demikian, bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dalam x, y, dan z dapat ditulis sebagai berikut:

ax + by + cz = d	atau	a1x + b1y + c1z = d1
ex + fy + gz = h		a2x + b2y + c2z = d2
ix + jy + kz = l		a3x + b3y + c3z = d3

Dengan a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 merupakan bilangan-bilangan real.

Keterangan:

a, e, I, a1, a2, a3 = koefisien dari x

b, f, j, b1, b2, b3 = koefisien dari y

c, g, k, c1, c2, c3 = koefisien dari z

d, h, i, d1, d2, d3 = konstanta

x, y, z = variabel atau peubah

Namun dalam soal-soal matematika yang berhubungan dengan sistem persamaan linear tiga variabel terkadang kita menemui SPLTV yang berbentuk pecahan seperti sistem persamaan linear berikut ini.

x	−	y	−	z	=	1
		2		4

x	−	y	+	z	=	−1
3				2

−x	+	y	−	z	=	4
2		4		3		3

Lalu bagaimana menentukan himpunan penyelesaian SPLTV yang berbentuk pecahan tersebut? Caranya sangat mudah sekali, yaitu kita hanya perlu mengubah SPLTV pecahan menjadi bentuk baku atau bentuk umum seperti yang telah disebutkan di awal artikel. Setelah bentuk baku diperoleh, selanjutnya kita selesaiakan dengan menggunakan salah satu dari metode-metode berikut ini.

■ Metode subtitusi

■ Metode eliminasi

■ Metode gabungan atau campuran

■ Metode determinan

■ Metode invers matriks

Sebagai contoh, kita akan menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel yang berbentuk pecahan berikut ini.

x	−	y	−	z	=	1
		2		4

x	−	y	+	z	=	−1
3				2

−x	+	y	−	z	=	4
2		4		3		3

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

■ Ubah persamaan yang memuat pecahan menjadi bentuk baku. Caranya adalah dengan mengalikan kedua ruas dengan KPK dari penyebut-penyebut pecahannya yaitu sebagai berikut.

Persamaan 1

x	−	y	−	z	=	1
		2		4

KPK dari 1, 2 dan 4 adalah 4, oleh karena itu, agar menjadi bentuk baku, kita kalikan kedua ruas dengan angka 4 sehingga hasilnya adalah sebagai berikut.

4x – 2y – z = 4

Persamaan 2

x	−	y	+	z	=	−1
3				2

KPK dari 3, 1, dan 2 adalah 6 oleh karena itu, agar menjadi bentuk baku, kita kalikan kedua ruas dengan angka 6 sehingga hasilnya adalah sebagai berikut.

2x – 6y + 3z = −6

Persamaan 3

−x	+	y	−	z	=	4
2		4		3		3

KPK dari 2, 4 dan 3 adalah 12 oleh karena itu, agar menjadi bentuk baku, kita kalikan kedua ruas dengan angka 12 sehingga hasilnya adalah sebagai berikut.

−6x + 3y – 4z = 16

Dengan demikian, bentuk baku dari sistem persamaan linear tiga variabel bentuk pecahan di atas adalah sebagai berikut.

4x – 2y – z = 4 ……………….. Pers. (1)

2x – 6y + 3z = −6 ………….. Pers. (2)

−6x + 3y – 4z = 16 .……….. Pers. (3)

■ Setelah bentuk SPLTV kita dapatkan, langkah selanjutnya adalah menentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV tersebut dengan menggunakan salah satu dari 5 metode penyelesaian SPLTV di atas. Misalkan kita akan menggunakan metode campuran (eliminasi + subtitusi), sehingga penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

#1 Metode Eliminasi (SPLTV)

Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yang paling sederhana adalah y sehingga kita akan mengeliminasi y dulu. Untuk menghilangkan peubah z, maka kita harus menyamakan koefisien masing-masing y dari ketiga persamaan. Perhatikan cara berikut.

4x – 2y – z = 4 → koefisien y = –2

2x – 6y + 3z = −6 → koefisien y = –6

−6x + 3y – 4z = 16 → koefisien y = 3

Agar ketiga koefisien y sama (abaikan tanda), maka kita kalikan persamaan pertama dengan 3, persamaan kedua dengan 1, dan persamaan ketiga dengan 2. Sehingga hasilnya adalah sebagai berikut.

4x – 2y – z	=	4	|× 3|	→	12x – 6y – 3z	=	12
2x – 6y + 3z	=	−6	|× 1|	→	2x – 6y + 3z	=	−6
−6x + 3y – 4z	=	16	|× 2|	→	−12x + 6y – 8z	=	32

Setelah koefisien y ketiga persamaan sudah sama, maka langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel y hilang. Prosesnya seperti di bawah ini.

● Dari persamaan pertama dan kedua:

12x – 6y – 3z	=	12
2x – 6y + 3z	=	−6	−
10x − 6z	=	18

● Dari persamaan kedua dan ketiga:

2x – 6y + 3z	=	−6
−12x + 6y – 8z	=	32	+
−10x − 5z	=	26

Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.

10x – 6z = 18

−10x − 5z = 26

#2 Metode Subtitusi (SPLDV)

Dari SPLDV pertama, kita peroleh persamaan x sebagai berikut.

⇒ 10x – 6z = 18

⇒ 10x = 18 + 6z

Lalu kita subtitusikan persamaan y tersebut ke SPLDV kedua sebagai berikut.

⇒ −10x − 5z = 26

⇒ −(18 + 6z) − 5z = 26

⇒ −18 − 6z − 5z = 26

⇒ − 6z − 5z = 26 + 18

⇒ −11z = 44

⇒ z = −4

Kemudian, untuk menentukan nilai x, kita subtitusikan nilai z = −4 ke dalam salah satu SPLDV, misalnya persamaan 10x – 6z = 18 sehingga kita peroleh:

⇒ 10x – 6z = 18

⇒ 10x – 6(−4) = 18

⇒ 10x + 24 = 18

⇒ 10x = 18 – 24

⇒ 10x = –6

⇒ x = –6/10

⇒ x = –3/5

Langkah terakhir yaitu menentukan nilai y. Untuk menentukan nilai y, kita subtitusikan nilai x = –3/5 dan z = x = –4 ke dalam salah satu SPLTV di atas, misalnya persamaan 4x – 2y – z = 4 sehingga kita peroleh:

⇒ 4x – 2y – z = 4

⇒ 4(–3/5) – 2y – (–4) = 4

⇒ –12/5 – 2y + 4 = 4

⇒ –2y = 4 – 4 + 12/5

⇒ –2y = 12/5

⇒ y = –12/10

⇒ y = –6/5

⇒ y = –11/5

Dengan demikian kita peroleh nilai x = –3/5, y = –11/5 dan z = –4  sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(–3/, –11/5, –4)}.

SPLTV bentuk pecahan yang dibahas dalam artikel ini adalah posisi ketiga variabel (x, y, z) sebagai pembilang dalam pecahan. Lalu bagaimana cara menyelesaikan SPLTV bentuk pecahan yang variabelnya dijadikan sebagai penyebut pecahan? Perhatikan contoh SPLTV berikut.

4	+	2	+	3	=	1
x		y		z

4	+	4	+	3	=	2
x		y		z

−8	+	2	−	6	=	1
x		y		z

Contoh Soal:

1.Penyelesaian:

2.Penyelesaian:

Daftar Pustaka:

Judul: Persamaan Linear Tiga Variabel Bentuk Pecahan

Penulis: Blogmipa-matematika dan istanamengajar

Tahun Posting: November 2017 dan Juni 2013

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Allisya Vita Dwi Savitri X IPS 1

 Nama: Allisya Vita Dwi Savitri

Kelas : X IPS 1

Absen: 3

•Persamaan Nilai Mutlak dalam Matematika merupakan nilai mutlak dari angka yang bisa didefinisikan sebagai jarak angka di atas titik 0 pada garis bilangan tanpa memperhatikan arahnya. 

Sementara itu nilai mutlak merupakan bilangan riil tanpa tanda plus ataupun minus. Sebagai contoh, nilai absolut dari angka 3 adalah 3. Lalu, nilai mutlak dari angka -5 adalah 5. 

Berikut adalah notasi persamaan nilai mutlak:

| 3 | = 3 (nilai absolut dari 3 adalah 3)

|-4 |= 4 (nilai absolut dari negatif 4 adalah 4)

| -6 -x| (nilai absolut dari negatif 6 dikurangi x)

Sifat Persamaan Nilai Mutlak

Persamaan nilai multak memiliki sifat tertentu, yakni:

Jika X merupakan bentuk aljabar dan k adalah bilangan real positif, maka |X| = k akan mengimplikasikan X= -k atau X= k.

Sifat Perkalian Persamaan Nilai Mutlak

Perkalian persamaan nilai mutlak juga terdiri dari sifat tertentu, yaitu:

Jika A dan B adalah bentuk aljabar, maka |AB| = |A||B|.

Jika A= -1, makan menurut sifat tersebut |-B|= |-1||B|=|B|.

Umumnya, sifat ini berlaku untuk sembarang konstanta A.

Contoh Soal :

1. Berapa nilai mutlak persamaan |9-3|

Jawab

|9-3|=|7|=7

2. Berapa x untuk persamaan nilai mutlak |x-5|=10?

Jawab

-Solusi pertama: 

x-5=10

x=15

-Solusi kedua:

x-5= -10

x= -5

Jadi, jawaban untuk persamaan ini adalah 15 atau (-5).

3. Tentukan selesaian dari persamaan |-2x| + 5 =13

Jawab

|-2x|=8

|-2||x|=8

2|x|=8

|x|=4

x= -4 atau x =4

4. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan nilai mutlak di bawah ini.

2|2x+1|+4=10

Pada soal di atas, kita harus membuat bagian kiri hanya terdiri dari komponen nilai mutlak saja. Maka dapat kita tulis seperti di bawah:

2|2x+1|+4=10

2|2x+1|=6

|2x+1|=3

Setelah membuat bagian kiri dengan komponen nilai mutlak saja, sekarang kita bisa menggunakan salah satu sifat persamaan linear nilai mutlak satu variabel.

Jika |f(x)|=c

maka f(x)=c atau f(x)=-c

Maka bisa kita jawab:

2x+1=3

2x=2

x=1

2x+1=-3

2x=-4

x=-2

Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah:

x=1 atau x=-2

•Pertidaksamaan Nilai Mutlak adalah kalimat matematika terbuka yang memuat ungkapan >, ≥, <, atau ≤. Sedangkan ketidaksamaan atau pertidaksamaan mutlak (absolut) adalah pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya. Suatu pertidaksamaan yang selalu salah untuk setiap pengganti variabelnya disebut pertidaksamaan palsu.

Sifat-Sifat Pertidaksamaan :

Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama.

 

Jika a < b maka:

a + c < b + c

a – c < b – c

Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama.

Contoh Soal :

1. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak di bawah ini.

|5x+10|≥20

Dilansir dari Encyclopaedia Britannica, Untuk menjawab soal di atas, kita gunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak:

Jika a>0 dan |x|≥a

maka x≥a atau x≤-a

Sehingga bisa kita tulis:

5x+10≥20

5x≥10

x≥2

5x+10≤-20

5x≤-30

x≤-6

Maka himpunan penyelesaiannya adalah:

x≥2 atau x≤-6

2. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak di bawah ini.

|5x+10|≤20

Untuk menjawab soal di atas, kita gunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak:

Jika a>0 dan |x|≤a

maka -a≤x≤a

Sehingga penyelesaiannya adalah:

-20≤5x+10≤20

-30≤5x≤10

-6≤x≤2

Maka himpunan penyelesaiannya dari soal di atas yaitu:

-6≤x≤2

Daftar pustaka : 

Judul : Persamaan dan Tidakpersamaan Nilai Mutlak.

Penulis: Kompas.com, kumparan, dosen.pendidikan

Tahun posting : 2020

Nilai Mutlak Allisya Vita Dwi Savitri X IPS 1

Nama: Allisya Vita Dwi Savitri

Kelas: X IPS 1

Absen: 3

Nilai Mutlak adalah suatu konsep dalam matematika yang menyatakan selalu positif. Secara matematis pengertian nilai mutlak dari setiap bilangan real x yang ditulis dengan simbol x│, yaitu nilai positif dari nilai x dan -x.

Nilai mutlak atau disebut juga nilai absolut menggambarkan jarak nomor di baris nomor dari 0 tanpa mempertimbangkan jumlah dari arah mana nol terletak. Nilai absolut dari nomor tidak pernah negatif.

Penjelasan Nilai Mutlak

Misalnya Nilai mutlak dari 5 adalah 5 (jarak dari 0 yaitu 5 satuan), Nilai mutlak dari -5 adalah 5 (jarak dari 0:5 satuan).

Nilai mutlak dari 2 + -7 adalah 5 (jumlah jarak dari 0:5 satuan).

Nilai mutlak dari 0 = 0, kita tidak mengatakan bahwa nilai mutlak tersebut dari angka positif. Nol tidak negatif atau positif.

Simbol untuk nilai mutlak adalah dua garis lurus, sekitarnya jumlah atau ekspresi yang memiliki nilai mutlak.

| 6 | = 6 berarti nilai absolut dari 6 adalah 6.

| -6 | = 6 berarti nilai absolut dari negatif 6 adalah 6.

| -2 – x | berarti nilai absolut dari negatif2 dikurangi x.

– | x | berarti nilai negatif dari nilai absolut dari x.

Dari sudut pandang geometri, nilai mutlak dari x ditulis | x |, adalah jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real. Karena jarak selalu positif atau nol maka nilai mutlak x juga selalu bernilai positif atau nol untuk setiap x bilangan real. 

Secara formal, nilai mutlak x didefinisikan dengan : | x | =  - x jika x 0 | x | = -x jika x < 0

Nilai mutlak bilangan positif atau nol adalah bilangan mutlak dan nilai mutlak bilangan negatif adalah lawan dari bilangan tersebut .

Sebagai contoh:

| 7 | = 7    

| 0 | = 0    

|-4 | = -(-4) = 4

Jadi, jelaslah bahwa nilai mutlak setiap bilangan real akan selalu bernilai positif atau nol.

Contoh soal 1:

Tentukanlah  himpunan penyelesaian |4x + 2| ≥ 6

Jawab :
|4x + 2| ≥ 6 (4x + 2 ≤ -6 atau 4x + 2 ≥ 6)
|4x + 2| ≥ 6 (4x ≤ -8 atau 4x ≥ 4)
|4x + 2| ≥ 6 (x ≤ -2 atau x ≥ 1)

Maka, HP = (x ≤ -2 atau x ≥ 1)

Contoh soal 2:

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan |4 – 2/5 x|-7 = 13

Jawab:

|4 – 2/5 x|-7 = 13

|4 – 2/5 x|= 13 + 7

|4 – 2/5 x|= 20

maka

|4 – 2/5 x|= 20 atau |4 – 2/5 x|= -20

jadi

– 2/5 x = 16 atau -2/5 x = -24

x = -40 atau x = 60

Maka himpunannya adalah {-40,60}.

Daftar pustaka:

Judul: Pengertian nilai mutlak (absolute) dan contoh soalnya

Penulis : Broexcel.com by admin dan rumusrumus.com

Tahun posting : 2016 (5 tahun lalu)