Fungsi: Kuadrat, Rasional, Irasional

Nama: Allisya Vita Dwi Savitri

Kelas: X IPS 1

Absen: 3

Fungsi: Kuadrat, Rasional, Irasional

Pengertian Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah sebuah fungsi polinom yang memiliki peubah/variabel dengan pangkat tertingginya adalah 2 (dua).

Secara umum fungsi kuadrat memiliki bentuk umum seperti berikut ini:

f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0

dengan f(x) = y yang merupakan variabel terikat, x adalah variabel bebas, sedangkan a, dan b merupakan koefisien dan c adalah suatu konstanta.

Hal ini tentunya berbeda dengan yang dinamakan persamaan kuadrat, yang mana persamaan kuadrat memiliki variabel dengan pangkat tertingginya adalah dua dan berbentuk persamaan.

Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0

dengan x adalah variabel bebas, a dan b adalah koefisien, serta c adalah konstanta.

Kembali ke materi fungsi kuadrat. Suatu fungsi sangat erat hubungannya dengan grafik fungsi.

Begitu pula fungsi kuadrat, yang memiliki grafik fungsinya sendiri. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola yang dapat digambarkan menggunakan langkah-langkah tertentu. 

Jenis-Jenis Fungsi Kuadrat

Sebelum kita membahas cara menggambar grafik fungsi kuadrat, akan kita bahas terlebih dahulu mengenai jenis-jenis lain dari fungsi kuadrat seperti di bawah ini:

1. Jika pada y = ax2 + bx + c nilai b dan c adalah 0, maka fungsi kuadrat menjadi:

y = ax2

yang membuat grafik pada fungsi ini simetris pada x = 0 dan memiliki nilai puncak di titik (0,0)

2. Jika pada y = ax2 + bx + c nilai b bernilai 0, maka fungsi kuadrat akan berbentuk:

y = ax2 + c

yang membuat grafik pada fungsi ini simetris pada x = 0 dan memiliki titik puncak di (0,c)

3. Jika titik puncak ada di titik (h,k), maka fungsi kuadrat menjadi:

y = a(x – h)2 + k

dengan hubungan a, b, dan c dengan h, k adalah sebagai berikut:

Setelah kita memahami jenis-jenis fungsi kuadrat yang lain, selanjutnya kita akan membahas cara melukis sebuah grafik fungsi kuadrat. Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. Menentukan sumbu simetri: x = – b/2a 
2. Menentukan titik potong kurva dengan sumbu x: misalkan y = 0, maka ax2 + bx + c = 0
3. Menentukan titik potong dengan sumbu y: misalkan x = 0, maka y = c
4. Menentukan titik puncak: 

Selain itu, terdapat ciri khusus dari grafik parabola dilihat dari fungsinya. Jika a > 0 maka parabola terbuka ke atas jika sebaliknya maka parabola terbuka ke bawah.

Kemudian pada fungsi kuadrat terdapat istilah diskriminan yang memiliki bentuk:

D = b2 – 4ac

Keterangan

• Jika D > 0 maka fungsi kuadrat memiliki 2 akar yang berbeda dan memotong di dua titik.
• Jika D = 0 maka fungsi kuadrat memiliki 2 akar yang sama, sehingga kurva hanya akan menyinggung sumbu x di satu titik.
• Jika D < 0 maka kurva tidak menyentuh sumbu x sama sekali. 

Grafik Fungsi Kuadrat

Dari ciri khusus yang dijelaskan di atas, berikut di bawah ini merupakan bentuk-bentuk grafik fungsi kuadrat secara umum beserta sedikit penjelasannya:

Contoh Soal Fungsi Kuadrat

 1. Tentukan nilai maksimum dari fungsi y = x2 – x – 6.

Pembahasan

Nilai maksimum dari suatu fungsi kuadrat adalah

Jadi, ypuncak = – 23/4

2. Jika titik puncak dari grafik y = x2 + px + q adalah (2, 3), tentukan nilai p + q.

Pembahasan

Dengan menggunakan rumus titik puncak koordinat x, maka:

–b/2a = 2

–p/2×1 = 2

p = 2 × 2 × (-1)

p = -4

Dengan mensubstitusikan titik puncak (2, 3) dan nilai p ke persamaan y = x2 + px + q diperoleh:

3 = 22 + -4(2) + q

3 = 4 – 8 + q

q = 1

Maka

p + q = -4 + 1 = -3

Jadi, nilai p + q adalah -3.

3. Jika fungsi y = ax2 + 8x + (a+2) mempunyai sumbu simetri x = 2, carilah koordinat titik puncaknya.

Pembahasan

Sumbu simetri berada di x titik puncak, sehingga:

–b/2a = 2

–8/2a = 2

a = -2

Dengan mensubstitusikan nilai a ke fungsi y, diperoleh:

y = ax2 + 8x + (a+2)

y = -2x2 + 8x

Maka kita dapat menentukan koordinat titik puncak y, yaitu

-(b2 – 4ac) / 4a = -(82 – 4(-2)(0)) / 4(-2)

-(b2 – 4ac) / 4a = – 64 / -8

-(b2 – 4ac) / 4a = 8

Jadi, koordinat titik puncaknya adalah (2, 8).

Fungsi Rasional

Fungsi Rasional
Fungsi rasional merupakan fungsi yang mempunyai bentuk umum

Dengan p dan d adalah polinomial dan d(x) ≠ 0. Domain dari V(x) merupakan seluruh bilangan real, kecuali pembuat nol dari d.

Adapun fungsi rasional yang paling sederhana, yakni fungsi y = 1/x dan fungsi y = 1/x².

Di mana keduanya mempunyai pembilang konstanta sertaa penyebut polinomial dengan satu suku. Dan kedua fungsi tersebut mempunyai domain semua bilangan real kecuali x ≠ 0.

Fungsi y = 1/x

Fungsi ini disebut juga sebagai fungsi kebalikan sebab setiap kita mengambil sembarang x (kecuali nol) maka akan menghasilkan kebalikannya sebagai nilai dari fungsi tersebut.

Yang artinya x yang besar akan menghasilkan nilai fungsi yang kecil, begitu juga sebaliknya. Tabel dan grafik dari fungsi tersebut bisa dilihat pada gambar di bawah ini.

Tabel dan grafik di atas menunjukan beberapa hal yang menarik.

 

Yang pertama, grafik tersebut lolos pada uji garis vertikal. Yang berarti setiap garis vertikal pada bidang koordinat Cartesius akan memotong grafik pada maksimal satu titik.

Sehingga, y = 1/x adalah sebuah fungsi.

Yang kedua, sebab pembagian tidak terdefinisi jadi saat pembaginya nol, maka nol tidak akan mempunyai pasangan, sehingga menghasilkan jeda pada x = 0.

Hal tersebut sesuai dengan domain dari fungsi tersebut, yakni seluruh x anggota bilangan real kecuali 0.

Yang ketiga, fungsi tersebut adalah fungsi ganjil, dengan salah satu cabangnya terletak di kuadran I.

Sementara yang lainnya berada pada kuadran III.

Kemudian yang terakhir, pada kuadran I, saat x menuju tak hingga, nilai y menuju dan mendekati nilai nol.

Secara simbolis bisa kit tuliskan sebagai x → ∞, y → 0. Secara grafis, kurva dari grafik fungsi tersebut akan mendekati sumbu-x pada saat x mendekati tak hingga.

Tak hanya itu saja, kita juga bisa mengamati bahwa pada saat x mendekati nol dari kanan maka nilai y akan mendekati bilangan real positif yang sangat besar (positif tak hingga): x → 0+, y → ∞.

Untuk catatan, tanda + atau – yang berada di atas akan mengindikasikan arah dari pendekatan. Yakni dari sisi positif (+) atau dari sisi negatif (–).

 Atau bisa juga diartikan

Fungsi rasional adalah perbandingan dari dua polinomial. Fungsi rasional dapat digambarkan dengan garis lengkung yang dicerminkan. Berikut adalah bentuk umum dari fungsi rasional :

v(x) = p(x)/d(x)

d(x)      ≠ 0

v(x)      = bilangan real kecuali pembuat nol dari d

p dan d = polinomial.

Sumber: Dokumentasi penulis

H bertanda + untuk pergeseran ke arah sumbu x negatif dan berlaku sebaliknya,

K bertanda + untuk pergeseran ke arah sumbu y positif dan berlaku sebaliknya. 

Contoh 1

Mendeskripsikan Sifat dari Ujung Grafik Fungsi Rasional

Untuk y = 1/x dalam kuadran III,

1. Mendeskripsikan sifat dari ujung grafik fungsi tersebut.
2. Mendeskripsikan apa yang akan terjadi pada saat x mendekati nol.

Pembahasan Serupa dengan sifat grafiknya pada kuadran I, maka akan kita peroleh

1. Pada saat x mendekati negatif tak hingga, nilai y akan mendekati nol. Jika disimbolkan akan menjadi: x → –∞, y → 0.
2. Pada saat x mendekati nol dari kiri, nilai y akan mendekati negatif tak hingga. Pernyataan tersebut juga bisa kita tuliskan dengan simbol x → 0–, y → –∞.

Fungsi y = 1/x²

Dari pembahasan di atas, kita bisa mengetahui bahwa grafik dari fungsi ini akan mengalami jeda pada saat x = 0.

Namun demikian, sebab kuadrat dari sembarang bilangan negatif merupakan bilangan positif, cabang-cabang dari grafik fungsi ini akan terletak kdi atas sumbu-x.

Perhatikan bahwa fungsi y = 1/x² adalah fungsi genap.

Sama halnya dengan y = 1/x, nilai x yang mendekati positif tak hingga akan menghasilkan y yang mendekati nol. Jika kita tulis simbolnya maka akan menjadi: x → ∞, y → 0.

Hal ini adalah salah satu indikasi dari sifat asimtot dalam arah horizontal. Serta kita akan menyatakan y = 0 adalah asimtot horizontal dari fungsi y = 1/x dan y = 1/x². Secara umum,

Asimtot Horizontal
Diberikan sebuah konstanta k, garis y = k adalah asimtot horizontal dari fungsi V(x) apabila x bertambah tanpa batas, akan menimbulkan V(x) mendekati k: x → –∞, V(x) → k atau x → ∞, V(x) → k.

Pada gambar (a) di bawah ini menggambarkan garis asimtot horizontal pada y = 1, yang menunjukan grafik f(x) sebagai translasi grafik y = 1/x ke atas sejauh 1 satuan.

Gambar (b) menggambarkan garis asimtot horizontal pada y = –2, yang menunjukan grafik g(x) sebagai pergeseran grafik y = 1/x² ke bawah sejauh 2 satuan.

Contoh 2

Mendeskripsikan Sifat dari Ujung Grafik Fungsi Rasional

Berdasarkan gambar (b) di atas, pakailah notasi matematika guna:

1. Mendeskripsikan sifat dari ujung grafik di atas.
2. Mendeskripsikan apa yang berlangsung pada saat x mendekati nol.

Pembahasan

1. Pada saat x → –∞, g(x) → –2. Ketika x → ∞, y → –2.
2. Pada saat x → 0–, g(x) → ∞. Ketika x → 0+, y → ∞.

Dari contoh 2b di atas, maka dapat diketahi bahwasannya pada saat x mendekati nol, g akan berubah menjadi sangat besar serta semakin bertambah tidak terbatas.

Hal tersebut adalah indikasi dari sifat asimtot dalam arah vertikal.

Dan kemudian kita akan menyebut garis x = 0 adalah asimtot vertikal untuk g (x = 0 juga adalah asimtot vertikal untuk f). Secara umum,

Asimtot Vertikal
Diberikan sebuah konstanta h, garis x = h adalah asimtot vertikal untuk fungsi V apabila x mendekati h, V(x) akan bertambah atau berkurang tanpa batas: pada saat x → h+, V(x) → ±∞ atau pada saat x → h–, V(x) → ±∞.

Mengidentifikasi dari asimtot horizontal dan vertikal sangatlah bermanfaat.

Sebab grafik y = 1/x dan y = 1/x² bisa ditransformasi dengan menggesernya ke arah vertikal maupun gorizontal. Fungsi,

adalah bentuk pergeseran dari fungsi y = 1/x. Sementara untuk fungsi,

adalah bentuk pergeseran dari fungsi y = 1/x². Kemudian perhatikan contoh yang ada di bawah ini:

Contoh 3

Menuliskan Persamaan dari Fungsi Rasional

Identifikasi fungsi yang diberikan oleh grafik pada gambar di bawah, lalu pakailah grafik tersebut untuk menuliskan persamaan fungsi tersebut. Anggaplah |a| = 1.

Pembahasan dari grafik di atas, dapat kita ketahui bahwasannya grafik tersebut adalah pergeseran dari fungsi y = 1/x ke kanan sejauh 2 satuan. Serta bergeser ke bawah sejauh 1 satuan.

Sehingga asimtot horizontal serta vertikal dari grafik di atas secara berturut-turut yaitu y = –1 dan x = 2. Maka dari itu, persamaan dari grafik di atas yaitu:

yang mana adalah bentuk dari pergeseran fungsi y = 1/x.

Contoh soal 4

Fungsi rasional f(x) = 1/x digeser ke arah sumbu x positif sejauh 5 satuan dan ke arah sumbu y negatif sejauh 3 satuan. Tentukan bentuk fungsi rasional tersebut sekarang!

Penyelesaian:

Notasi Fungsi

Fungsi adalah relasi himpunan x ke himpunan y yang menghubungkan antara setiap anggota himpunan x tepat pada satu anggota himpunan y. Berikut adalah bentuk umum fungsi :

f : x → y

f(x) adalah nilai y untuk sebuah nilai x yang diberikan, sehingga dapat dinyatakan :

f(x) = y

y adalah fungsi dari x, sehingga nilai dari y bergantung pada nilai x.

(Sinaga dkk., 2017)

Fungsi Irasional

Grafik fungsi irrasional dapat dilukis ( dengan skets ) dengan menentukan domain dan range fungsi, menentukan koordinat titik potong kurva dengan sumbu x, dan sumbu y jika ada, dan mentabulasi berapa harga x dan y sehingga koordinat titik yang memenuhi persamaan fungsi. Titik – titik dengan koordinat diatas diplot pada bidang, sehingga grafik fungsi diperoleh.

Contoh:

Buatlah skets grafik fungsi irrasional yang dinyatakan dengan persamaan y =

√

x+9−5

Domain dan Range

Domain (Daerah asal) adalah himpunan semua bilangan real x yang membuat fungsi f terdefinisi (f anggota himpunan bilangan real).

D_f = {x : x∈R}

(Sinaga dkk., 2017)

Range (Daerah hasil) adalah himpunan semua bilangan real y yang terdefinisi dengan anggota himpunan bilangan real x.

R_f = {y : y∈R}

Contoh soal

Tentukan domain dan range dari fungsi berikut !

Menggambar Sketsa Grafik Fungsi

Menggambar sketsa grafik suatu fungsi didahui dengan menemukan bentuk persamaan apakah linear, kuadrat, atau rasional. Ciri dari fungsi linear memiliki variabel bebas berpangkat tertinggi satu. Ciri dari fungsi kuadrat memiliki variabel bebas berpangkat tertinggi dua.

Ciri dari fungsi rasional adalah berbentuk rasio atau perbandingan. Kemudian buatlah tabel yang berisi titik yang dilalui grafik. dari suatu fungsi. Selanjutnya hubungkan titik-titik sehingga menjadi grafik.

Contoh soal

Gambarkan sektsa grafik fungsi dari f(x) = x² +2 !

Penyelesaian:

f(x) = x² +2 adalah persamaan kuadrat karena x berpangkat dua.

a = 1 > 0 maka grafik akan terbuka ke atas.

Titik balik berada pada (0, 2)

x = -b/2a = -(0)/2(1) = 0

y = x² +2 = (0)² +2 = 2

Buatlah tabel

X	f(x) = y	(x, y)
3	11	(3, 11)
2	6	(2, 6)
1	3	(1, 3)
0	2	(0, 2)
-1	3	(-1, 3)
-2	6	(-2, 6)
-3	11	(-3, 11)

 

Gambarlah sketsa grafik fungsi dari titik-titik pada tabel !

Daftar Pustaka:

Judul Posting: Fungsi Kuadrat, Rasional, Irasional

Penulis : yuksinau.id, dan 123dok.com

Tahun Posting: 11 Maret 2021