Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV)
y = ax + b (bentuk linear)
y = px2 + qx + r (bentuk kuadrat)
Keterangan:
Dengan a, b, p, q, r merupakan bilangan real.
Cara Penyelesaian SPLKDV
Berikut adalah tahapan atau langkah-langkah dalam menyelesaikan persoalan SPLKDV, diantaranya ialah sebagai berikut:
- Subtitusikan y = ax+b menjadi y = px2 + qx + r sehingga akan terbentuk persamaan kuadrat.
- Menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk yaitu x1 dan x2.
- Subtitusikan x1 dan juga x2 ke dalam bentuk persamaan bentuk linear untuk memperoleh y1 dan y2.
- Himpunan penyelesaiannya yaitu {(x1,y1),(x2,y2)}.
Himpunan penyelesaian antara persamaan bentuk linear dengan bentuk kuadrat mempunyai tiga kemungkinan, diantaranya yaitu:
- Apabila D>0, maka garis serta parabola berpotongan di dua titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya.
- Apabila D = 0, maka garis serta parabola berpotongan di satu titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya.
- Apabila D < 0, maka garis seta parabola tidak berpotongan sehingga tidak memiliki himpunan penyelesaian atau { }.
Metode Substitusi
Berikut ini adalah contoh dari sistem persamaan dua variabel:
x – y = -4 ……………. Persamaan 1
x2 – y = -2 ……………. Persamaan 2
Penyelesaian dari sistem ini adalah pasangan berurutan yang di mana akan memenuhi masing-masing persamaan dalam sistem tersebut.
Proses dalam menemukan himpunan dalam metode atau penyelesaian ini disebut sebagai menyelesaikan sistem persamaan.
Sebagai contoh, pasangan berurutan (–1, 3) merupakan salah satu selesaian dari sistem ini. Untuk menguji hal ini, maka akan kita substitusi –1 ke x serta 3 ke y dalam masing-masing persamaan.
Menguji (–1, 3) ke dalam Persamaan 1 serta Persamaan 2:
x – y = -4 → Tulis persamaan 1.
-1 – 3 = -4 → Substitusi -1 ke x dan 3 ke y.
-4 = -4 → Penyelesaian teruji dalam persamaan 1.
x2 – y = -2 → Tulis persamaan 2.
(-1)2 – 3 = -2 → Substitusi -1 ke x dan 3 ke y.
1 – 3 = -2 → Sederhanakan.
-2 = -2 → Penyelesaian teruji dalam persamaan 2.
Di sini akan kita pelajari dua macam cara dalam menyelesaikan sistem persamaan linear serta kuadrat dua variabel. Kita mulai dengan menggunakan metode substitusi.
Metode Substitusi
- Selesaikan satu persamaan, sehingga akan ada satu variabel pada persamaan tersebut yang dinyatakan ke dalam bentuk variabel lainnya.
- Substitusi bentuk yang diperoleh dalam tahap pertama ke dalam persamaan lainnya untuk memperoleh persamaan dalam satu variabel.
- Selesaikan persamaan yang didapatkan pada tahap ke dua.
- Substitusi balik nilai yang kita dapatkan di tahap tiga ke dalam persamaan yang didapatkan di tahap pertama guna menemukan nilai variabel lainnya.
- Uji selesaian ini apakah memenuhi masing-masing persamaan dalam sistem.
Contoh Soal:
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di bawah ini yaitu:
A. {(2,-1),(3,0)}
B. {(1,2),(3,0)}
C. {(-1,0),(2,3)}
D. {(2,3),(0,-1)}
E. {(0,3),(-1,2)}
Jawab:
Substitusikan y = x – 3 ke y = x2 – 4x + 3, sehingga akan kita dapatkan:
x – 3 = x2 – 4x + 3
<=> -x2 + 5x – 6 = 0
<=> x2 – 5x + 6 = 0
<=> (x – 3)(x – 2) = 0
<=> x1 = 3 atau x2 = 2
Untuk x1 = 3 maka y1 = 3 – 3 = 0
Untuk x2 = 2 maka y2 = 2 – 3 = -1
Sehingga, himpunan penyelesaiannya yaitu {(2,-1),(3,0)}
Maka jawaban yang paling tepat adalah: A
2. Sistem Persamaan Kuadrat (SPK)
Sistem persamaan kuadrat dengan variabel x serta y pada umumnya dinyatakan seperti berikut ini:
y = ax2 + bx + c
y = px2 + qx + r
Keterangan:
Dengan a, b, p, q, r merupakan bilangan real.
Cara Penyelesaian SPK :
- Substitusikan persamaan yang satu ke dalam persamaan yang lainnya sehingga akan membentuk persamaan kuadrat.
- Menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk sehingga akan kita dapatkan himpunan penyelesaiannya, yaitu: {(x1,y1),(x2,y2)}
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat mempunyai 6 kemungkinan, diantaranya yaitu:
- Apabila D > 0, maka kedua parabola akan berpotongan di dua titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya.
- Apabila D = 0, maka kedua parabola akan berpotongan di satu titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya
- Apabila D < 0, maka kedua parabola tidak akan berpotongan sehingga tidak memiliki himpunan penyelesaian atau { }
- Apabila a = p, b ≠ q, maka kedua parabola akan berpotongan di satu titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya
- Apabila a = p, b = q dan c ≠ r, maka kedua parabola tidak akan berpotongan sehingga himpunan penyelesaiannya { }
- Apabila a = p, b ≠ q dan c = r, maka kedua parabola berimpit sehingga anggota dari himpunan penyelesaiannya tak berhingga penyelesaiannya.
Contoh Soal:
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di bawah ini adalah:
A. {(5,2),(2,3)}
B. {(2,-5),(2,-3)}
C. {(-2,5),(2,-3)}
D. {(-2,-3),(2,-5)}
E. {(-3,5),(2,-2)}
Jawab:
Substitusikan persamaan dari y = x2 -2x – 3 ke dalam persamaan y = -x2 -2x + 5, sehingga:
x2 -2x – 3 = -x2 -2x + 5
<=> 2x2 -8 = 0
<=> x2 – 4 = 0
<=> (x – 2)(x + 2) = 0
<=> x = 2 atau x = -2
Untuk x = 2
y = x2 – 2x – 3
y = (2)2 -2 (2) – 3
y = 4 – 4 – 3
y = -3
Untuk x = -2
y = x2 – 2x – 3
y = (-2)2 -2 (-2) – 3
y = 4 + 4 – 3
y = 5
Maka dari itu, himpunan penyelesaiannya dari soal di atas adalah {(-2,5),(2,-3)}
Sehingga jawaban yang paling tepat adalah: C.
SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINeaR DAN KUADRAT DUA VARIABEL (SPLDKV)
Dapat disimpulkan bentuk dari pertidaksamaan linear dapat dituliskan sebagai berikut:
♦ Bentuk Pertidaksamaan
♦ Contoh kalimat dari pertidaksamaan
|
Beberapa contoh kalimat diatas merupakan kalimat terbuka yang menggunakan tanda hubung seperti: >, <, ≤, dan ≥. Hal ini menjadi suatu tanda bahwa kalimat tersebut merupakan kalimat pertidaksamaan.
Himpunan Penyelelesaian Pertidaksamaan
Dalam menyelesaikan pertidaksamaan linear kuadrat dua variabel ada beberapa hal yang harus anda kuasai, yang kesemuanya itu bertujuan untuk mempermudah anda dalam mengerjakannya.Penyelesaian suatu pertidaksamaan linear dua variabel adalah pasangan ber urut (x,y) yang dapat memenuhi pertidaksamaan linear tersebut.
Perlu anda ketahui juga bahwa himpunan dari penyelesaian tersebut dapat dinyatakan degan sebuah daerah pada bilangan kartesius (bidang XOY) yang ditandai dengan adanya arsiran.
Agar lebih paham mengenai daerah himpunan dari penyelesaian pertidaksamaan linear dua peubah. berikut contoh dan penjelasannya.
Contoh Penjelasan Soal
3x + 4y ≤12
Jawab:
- Langkah pertama yang harus anda kerjakan adalah melukis garis 3x + 4y = 12 dengan cara menghubungkan titik potong garis yang ada dengan sumbu X dan Sumbu Y.
- Titik Potong garis yang ada pada sumbu X memiliki arti sebagai Y = 0, dan didapatkan x = 4. Dengan menggunakan ketentuan menjadi (4,0)
- Lalu tarik titik potong garis dengan sumbu Y artinya jika X = 0, maka akan didapat hasil Y = 3. Dengan ketentuan menjadi (0,3)
- Garis 3x + 4y = 12 bilangan ini yang nantinya akan membagi bidang kartesius menjadi dua bagian.
- Untuk menentukan daerah mana sih yang nantinya akan di arsir untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian? Maka akan dilakukan salah satu titik uji dari salah satu titik yang ada pada kartesius tersebut daerah lain.
Sebagai contoh disini kita mengambil titik daerah lainnya yaitu (0,0) agar mempermudah anda dalam pengerjaannya. Lalu dengan titik (0,0) tersebut akan diperoleh bilangan seperti ini:
3x + 4y ≤12
= 3 (0) + 4 (0) ≤ 12
= 0 + 0 ≤ 12
= 0 ≤ 12 ( Nol kurang dari sama dengan dua belas)
Sehingga diperoleh 0≤12 benar, yang berarti sangat memenuhi sebagai daerah penyelesaian (DP).
Mencari nilai x dan y dari tabel
Dari gambar diatas dapat diketahui bahwa untuk nilai x = (4,0) dan untuk nilai y = (0,3).
Jadi daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang masuk dalam titik (0,0). yakni daerah yang di arsir pada gambar berikut ini.
Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan
Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPtLDV) adalah himpunan titik-titik pasangan berurut (x,y) dalam suatu bidang yang bernama kartesius yang nantinya dapat memenuhi seluruh pertidaksamaanlinear pada sistem tersebut. Sehingga daerah himpunan penyelesaiannya merupakan irisan dari beebrapa himpunan penyelesaian yang ada dari suatu pertidaksamaan dalam SPtLDV.
Agar lebih paham mengenai daerah penyelesaian pertidaksamaan, berikut ini ada satu contoh yang akan diberikan untuk anda. Simak baik-baik ya!
Contoh Soal Pembahasan
2x + 3y ≤ 12 (Pilih titik (0,0) untuk mendistribusikan kedalam pertidaksamaan)
Nilai y
2x + 3y = 12
2 (0) + 3y = 12
3y = 12
y = 4
Nilai x
2x + 3y = 12
2x + 3(0) = 12
2x = 12
x = 6
Contoh Mencari Nilai X dan Y menggunakan Tabel
Maka dapat dituliskan dalam tabel sebagai berikut
Dari gambar diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai x = (6,0) sedangkan nilai untuk y = (0,4).
Daerah penyelesaiannya dapat digambarkan seperti berikut ini
Dari kartesius diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai 2x + 3y ≤ 12 menyatakan benar bahwa bilangan tersebut memenuhi pertidaksamaan. Nilai untuk garis x yaitu (6,0) dan y yaitu (0,4) sehingga dapat ditarik garis seperti gambar diatas. Dan bagian yang diarsir ialah sutu tanda pembuktian dimana itu adalah penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat.
Contoh Soal Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel
Untuk lebih memperjelas agar anda lebih paham berikut ini ada beberapa contoh soal yang membahas mengenai pertidaksamaan kuadrat dua variabel, simak baik-baik ya penjelasannya.
Contoh Soal Bukan Daerah Penyelesaian
1. Gambarkanlah hasil daerah penyelesaian dari 4x + 3y ≥ 24
Penyelesaian:
Mencari Nilai x dan y
Nilai y
4x + 3y = 24
4 (0) + 3y = 24
3y = 24
y = 8
Nilai x
4x + 3y = 24
4x + 3(0) = 24
4x = 24
x = 6
Mencari nilai x dan y dari tabel
Dari gambar diatas dapat diketahui bahwa untuk nilai x = (6,0) dan untuk nilai y = (0,8).
Sehingga daerah penyelesaian dari bilangan 4x + 3y ≥ 24 adalah sebagai berikut
Contoh Soal Daerah Penyelesaian
2. Gambarkanlah hasil daerah penyelesaian dari x + y ≤ 8
Penyelesaian:
Mencari Nilai x dan y
Nilai y:
= x + y = 8
0 + y = 8
y = 8
Nilai x:
= x + y = 8
x + 0 = 8
x = 8
♦ Menentukan nilai x dan y dalam bentuk tabel
Dari gambar diatas dapat diketahui bahwa untuk nilai x = (8,0) dan untuk nilai y = (0,8).
Maka, dapat digambarkan garis kartesius nya sebagai berikut
3. Gambarkanlah hasil daerah penyelesaian dari bilangan 2x + y ≤ 10
Penyelesaian:
Mencari Nilai x dan y
Nilai y:
2x + y = 10
2 (0) + y = 10
y = 10
Nilai x:
2x + y = 10
2x + 0 = 10
x = 5
Mencari nilai x dan y dari tabel
Dari gambar diatas dapat diketahui bahwa untuk nilai x = (5,0) dan untuk nilai y = (0,10).
Sehingga daerah penyelesaian dari angka 2x + y ≤ 10 adalah sebagai berikut
4. Gambarkanlah hasil daerah penyelesaian dari x + 2y ≤ 10
Penyelesaian:
Mencari Nilai x dan y
Nilai y
x + 2y =10
0 “+ 2y = 10
2y = 10
y = 5
Nilai x
x + 2y =10
x + 2(0) = 10
x = 10
Mencari nilai x dan y dari tabel
Dari gambar diatas dapat diketahui bahwa untuk nilai x = (10,0) dan untuk nilai y = (0,5).
Sehingga diperoleh daerah penyelesaiannya sebagai berikut.
5. Gambrakanlah hasil daerah penyelesaian dari 2x – y ≤ 4
Penyelesaian:
Mencari nilai x dan y
Nilai y
2x – y = 4
2(0) – y = 4
-y = 4
y = -4
Mencari Nilai x
2x – y = 4
2x – 0 = 4
2x = 4
x = 2
Mencari nilai x dan y dari tabel
Dari gambar diatas dapat diketahui bahwa untuk nilai x = (2,0) dan untuk nilai y = (0,-4).
Sehinnga diperoleh daerah penyelesaiannya sebagai berikut
Tidak ada komentar:
Posting Komentar