ALLISYA VITA DWI SAVITRI

Selasa, 11 Januari 2022

SUDUT-SUDUT BERELASI

Nama: Allisya Vita Dwi Savitri

Kelas: X IPS 1

Absen: 3

perbandingan_trigonometri_sudut-sudut_berelasi

Sudut Berelasi – Adalah perluasan definisi dasar ilmu trigonometri tentang kesebangunan pada segitiga siku-siku yang memenuhi untuk sudut kuadran I atau sudut lancip (0 − 90°).

Rumus Sudut Berelasi

Dengan memakai sudut-sudut relasi, kita mampu menghitung nilai perbandingan pada trigonometri untuk sudut pada kuadran lainnya, bahkan untuk sudut yang lebih dari 360°, termasuk juga sudut negatif.

Sudut Relasi Kuadran I

Untuk α lancip, maka (90° − α°) menghasilkan sudut-sudut kuadran I. Di dalam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (90° − α°) = cos α°	cosec (90° − α°) = sec α°
cos (90° − α°) = sin α°	sec (90° − α°) = cosec α°
tan (90° − α°) = cot α°	cot (90° − α°) = tan α°

Sudut Relasi Kuadran II

Untuk α lancip, maka (90° + α°) dan (180° − α°) menghasilkan sudut-sudut kuadran II dalam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (90° + α°) = cos α°	cosec (90° + α°) = sec α
cos (90° + α°) = -sin α°	sec (90° + α°) = -cosec α°
tan (90° + α°) = -cot α°	cot (90° + α°) = -tan α°

sin (180° − α°) = sin α°	cosec (180° − α°) = cosec α°
cos (180° − α°) = -cos α°	sec (180° − α°) = -sec α°
tan (180° − α°) = -tan α°	cot (180° − α°) = -cot α°

Sudut Relasi Kuadran III

Untuk α lancip, maka (180° + α°) dan (270° − α°) menghasilkan sudut kuadran III. Di dalam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (180° + α°) = -sin α°	cosec (180° + α°) = -cosec α°
cos (180° + α°) = -cos α°	sec (180° + α°) = -sec α°
tan (180° + α°) = tan α°	cot (180° + α°) = cot α°

sin (270° − α°) = -cos α°

cosec (270° − α°) = -sec α°

cos (270° − α°) = -sin α°

sec (270° − α°) = -cosec α°

tan (270° − α°) = cot α°

cot (270° − α°) = tan α°

Sudut Relasi Kuadran IV

Untuk α lancip, maka (270° + α°), (360° − α°) dan (360° + α°) menghasilkan sudut kuadran IV. D i dalam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (270° + α°) = -cos α°	cosec (270° + α°) = -sec α°
cos (270° + α°) = sin α°	sec (270° + α°) = cosec α°
tan (270° + α°) = -cot α°	cot (270° + α°) = -tan α°

sin (n.360° − α°) = -sin α°	cosec (n.360° − α°) = -cosec α°
cos (n.360° − α°) = cos α°	sec (n.360° − α°) = sec α°
tan (n.360° − α°) = -tan α°	cot (n.360° − α°) = -cot α°

sin (n.360° + α°) = sin α°	cosec (n.360° + α°) = cosec α°
cos (n.360° + α°) = cos α°	sec (n.360° + α°) = sec α°
tan (n.360° + α°) = tan α°	cot (n.360° + α°) = cot α°

Jika diperhatikan, rumus-rumus diatas mempunyai pola yang hampir sama, oleh karena itu sangatlah tidak bijak jika harus menghafalnya satu per satu. Ada 2 hal yang harus diperhatikan, yaitu sudut relasi yang dipaka dan tanda untuk tiap kuadran.

Untuk relasi (90° ± α°) atau (270° ± α°), maka :
sin → cos
cos → sin
tan → cot

Untuk relasi (180° ± α°) atau (360° ± α°), maka :
sin = sin
cos = cos
tan = tan

Tanda masing-masing kuadran :
Kuadran I (0° − 90°) = semua positif
Kuadran II (90° − 180°) = sinus positif
Kuadran III (180° − 270°) = tangen positif.
Kuadran IV (270° − 360°) = cosinus positif

Perbandingan Trigonometri Sudut Negatif (-α)

sin (-α) = -sin α	cosec (-α) = -cosec α
cos (-α) = cos α	sec (-α) = sec α
tan (-α) = -tan α	cot (-α) = -cot α

Daftar Pustaka:

Judul: Sudut-Sudut Berelasi

Penulis: https://ufitahir.wordpress.com/2020/03/18/menentukan-nilai-sudut-berelasi-berbagai-kuadran/

Tahun Posting: Maret 2020

SOAL KONTEKSTUAL BERKAITAN PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU, SUDUT ELEVASI DAN SUDUT DEPRESI

Nama: Allisya Vita Dwi Savitri

Kelas: X IPS 1

Absen: 3

Klinometer adalah alat untuk mengukur sudut kemiringan atau sudut elevasi. Apakah sudut elevasi dan sudut depresi itu? Untuk mengetahui definisi kedua macam sudut tersebut, perhatikan ilustrasi berikut.

Sudut Elevasi adalah sudut yang terbentuk oleh garis horizontal dengan mata pengamat dengan arah pandang ke atas.

Sudut Depresi adalah sudut yang terbentuk oleh garis horizontal dengan mata pengamat dengan arah pandang ke bawah.

Contoh Soal:

1. Sebuah pohon berjarak 130 meter dari seorang pengamat dengan tinggi mata pengamat dari tanah adalah 168 cm. Apabila sudut elevasi yang terbentuk adalah 60° dari mata pengamat ke pucuk pohon, maka tinggi pohon tercebut adalah ….

Jawab:

Dik: Jarak pengamat ke pohon: 130 meter

Tinggi pengamat: 168 cm = 1,68 meter

Sudut Elevasi 60°

Dit: Tinggi pohon.

Penyelesaian:

Pertama. Buatlah ilustrasinya

Kedua. Buatlah pemisalan agar memudahkan kita dalam mencari perbandingannya

Misalkan:

Tinggi pohon – tinggi pengamat = t

Jarak pengamat ke pohon =x

Sehingga kita bisa membuat ilustrasi yang lebih sederhana dengan menggunakan segitiga siku-siku

Dari gambar segitiga siku-siku di atas, jika kita menjadikan sudut 60° sebagai acuan, dimana: x adalah sisi samping dan t adalah sisi depan. Sehingga perbandingan yang digunakan adalah

Sehingga, tinggi pohon adalah = t + tinggi pengamat

2. Seseorang dari atas sebuah gedung mengamati sebuah toko di seberang jalan. Sudut terbentuk dari pengamatan tersebut adalah 45° . Tinggi gedung 10 lantai itu adalah 52 meter. Berapak jarak antara Gedung dengan toko yang diamati tersebut?

Jawab:

Dik : Tinggi Gedung = 52 meter

Sudut depresi = 45°

Dit : Jarak antara Gedung dengan toko

Penyelesaian:

Sama halnya dengan Langkah nomor 1, buatlah ilustrasi dan misalkan masalah di atas. Berikut ilustrasi sederhana mengenai jarak Gedung dan toko

Dari gambaran segitiga siku-siku di atas diketahui bahwa: x adalah sisi depan dan t adalah sisi sampingnya. Sehingga diperoleh sebagai berikut:

Jadi, jarak Gedung dengan toko adalah 52 meter.

3. Dua orang siswa yang tingginya sama yaitu 160 cm, sedang berdiri menghadap tiap bendera. Siswa pertama berada 10 meter di depan siswa kedua. Jika sudut elevasi yang terbentuk pada siswa pertama dan kedua terhadap puncak tiang bendera berturut-turut adalah 60º dan 30º , maka tinggi tiang bendera tersebut adalah ….

Jawab:

Dik :

Tinggi pengamat : 160 cm = 1,6 meter

Jarak siswa satu dengan yang lainnya : 10 meter

Sudut elevasi Siswa I terhadap puncak bendera : 60º

Sudut elevasi siswa II terhadap puncak bendera : 30º

Dit : Tinggi tiang bendera :

Penyelesaian:

Pertama. Buatlah ilustrasinya

Kedua. Buatlah pemisalan agar memudahkan kita dalam mencari perbandingannya.

Nah, pada kasus ini, kita terlebih dahulu dapat menambahkan ilustrasi sederhana berupa gambaran segitiga yang dapat memudahkan kita dalam memberikan pemberian nama pada titik-titiknya.

Misalkan:

AC : tinggi tiang bendera

DG : Tinggi siswa I

EF : Tinggi siswa II

DE = FG = jarak siswa I dan siswa II

BC ke DG adalah jarak tiang bendera ke siswa I

Misalkan kita buat segitiga di atas menjadi 2 bagian yaitu segitiga ABG dan segitiga ABF. Karena yang kita cari adalah tinggi tiang listrik, maka kita akan mengarahkan untuk mencari AB

Segitiga ABG

Segitiga ABF

Perhatikan Kembali uraian segitiga ABG, AB = jadi tinggi AB =

Sehingga tinggi tiang bendera:

4. Iwan memandang puncak sebuah gedung dengan sudut elevasi 60⁰. Tinggi orang Iwan 1,7 m dan jarak Iwan dengan gedung 40√3 m. Tinggi gedung adalah...

Jawab:

tan 60⁰ =

x = √3 . 40√3

x = 120

Jadi tinggi gedung adalah

= x + tinggi Iwan

= 120 m + 1,7 m

= 121,7 m

5. Seorang siswa diberikan tugas untuk mengukur tinggi sebuah gedung dengan menggunakan klinometer pada awal berdiri melihat ujung atas gedung dengan sudut elevasi 30° kemudian mendekati gedung sejauh 20 m dengan sudut elevasi 45°, jika tinggi siswa tersebut 1,5 m maka tinggi gedung adalah …

Jawab:

Untuk sudut 45°

tan 45⁰ =

1 =

y = x

Untuk sudut 30°

tan 30⁰ =

√3 x = 20 + x

√3 x – x = 20

x(√3 – 1) = 20

x =

x = 10(√3 + 1)

x = 10√3 + 10

Jadi tinggi gedung tersebut adalah

= x + tinggi siswa

= (10√3 + 10 + 1,5) m

= (10√3 + 11,5) m

6. Seorang anak dengan tinggi 160 cm berdiri pada jarak 12 m dari kaki tiang bendera. Jika sudut depresi dari puncak tiang terhadap anak adalah 45° maka tinggi tiang bendera itu adalah …

Jawab:

tan 45⁰ =

1 =

x = 12

Jadi tinggi tiang bendera adalah

= x + tinggi anak

= 12 m + 160 cm

= 12 m + 1,6 m

= 13,6 m

7. Joko yang berjarak 12 m melihat puncak sebuah gedung dengan sudut elevasi 60°. Jika tinggi Joko 150 cm, maka tinggi gedung tersebut adalah …

Jawab

tan 60⁰ =

x = 12√3

Jadi tinggi gedung adalah

= x + tinggi Joko

= 12√3 m + 150 cm

= 12√3 m + 1,5 m

= (12√3 + 1,5) m

8. Sebuah antena dipasang dengan tinggi tiang 8 m dan diberi penguat dari kawat dan membentuk sudut elevasi 30⁰, panjang kawat tersebut adalah...

Jawab:

sin 30⁰ =

x = 2 (8)

x = 16

Jadi panjang kawat tersebut adalah 16 m

Daftar Pustaka:

Judul: Soal Konstektual Berkaitan Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku-Siku, Sudut Elevasi Dan Sudut Depresi

Penulis: https://mathematics4us.com/masalah-kontekstual-mengenai-perbandingan-trigonometri-pada-segitiga-siku-siku-sudut-elevasi-dan-sudut-depresi/ dan brainly

Tahun Posting: Februari 2021 dan Mei 2014

Senin, 03 Januari 2022

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU

Nama: Allisya Vita Dwi Savitri
Kelas: X IPS 1

Absen: 3

Trigonometri dapat dikatakan sebagai suatu cabang ilmu matematika yang mempelajari mengenai sudut, sisi, dan perbandingan antara sudut terhadap sisi. Menurut bahasanya, trigonometri berasal dari bahasa Yunani. Trigonon yang berarti tiga sudut, dan metro yang berarti mengukur.

Dalam pembahasan mengenai trigonometri, kita akan banyak menggunakan sifat-sifat bangun datar segitiga. Ada yang masih ingat, teorema apa yang dipakai untuk menentukan panjang sisi segitiga siku-siku yang belum diketahui? Yak betul, kita akan menggunakan teorema/dalil pythagoras.

Pythagoras adalah seorang matematikawan asal Yunani yang dikenal dengan teoremanya, yaitu bahwa sisi miring atau sisi terpanjang dalam segitiga siku – siku sama dengan jumlah kuadrat sisi – sisi lainnya.

Pada gambar segitiga ABC di atas, AC merupakan sisi miring (hipotenusa) sehingga berlaku teorema pythagoras:

AC² = AB² + BC²

Perbandingan Trigonometri

Di sini kita akan mengenal istilah matematika baru, yaitu sinus (sin), cosinus (cos), tangent (tan atau tg), cosecan (csc atau cosec), secan (sec) dan cotangent (cot). Apa sih yang dimaksud dengan sinus, cosinus, tangent, dan sebagainya? Perhatikan gambar berikut!

Pada segitiga siku-siku ABC, sisi AC merupakan sisi miring yang juga merupakan sisi terpanjang. Sudut α (alpha) terletak pada sudut A. Maka di hadapan sudu α (alpha), terdapat sisi BC. Sisi BC dapat dikatakan sebagai sisi depan sudut. Sedangkan di samping sudut α (alpha), terdapat sisi AB. Dengan demikian, sisi AB dapat dikatakan sebagai sisi samping sudut A.

Sinus didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut dengan sisi miring segitiga. Untuk memudahkan, gunakan sindemi.

Cosinus didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di samping sudut dengan sisi miring segitiga. Untuk memudahkan, gunakan kosami.

Tangen didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut dengan sisi di samping sudut. Untuk memudahkan, gunakan tandesa.

Cosec merupakan kebalikan dari sinus. Cosec didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi miring segitiga dengan sisi di depan sudut.

Secan merupakan kebalikan dari cosinus. Secan didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi miring segitiga dengan sisi di samping sudut.

Cotangen merupakan kebalikan dari tangen. Cotangen didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi samping sudut dengan sisi di depan sudut.

Perhatikan gambar berikut!

$\sin \alpha = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}}=\frac{BC}{AC}$ .

$\cos \alpha = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}}=\frac{AB}{AC}$ .

$\tan \alpha = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}}=\frac{BC}{AB}$ .

$\csc \alpha = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}}=\frac{AC}{BC}$ .

$\sec \alpha = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}}=\frac{AC}{AB}$ .

$\cot \alpha = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}}=\frac{AB}{BC}$ .

Contoh Soal:

1. Diketahui segitiga siku-siku ABC dengan panjang AB = 12 cm dan BC = 16 cm. Tentukan nilai perbandingan trigonometri pada segitiga tersebut!

Kita cari terlebih dahulu panjang sisi AC dengan menggunakna teorema pythagoras.

$AC = \sqrt{AB^2+BC^2}$
$AC = \sqrt{12^2+16^2}$
$AC = \sqrt{144+256}$
$AC = \sqrt{400}$
$AC=20$

$\sin A = \frac{BC}{AC}=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}$

$\cos A = \frac{AB}{AC}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$

$\tan A = \frac{BC}{AB}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}$

$\csc A = \frac{AC}{BC}=\frac{20}{16}=\frac{5}{4}$

$\sec A = \frac{AC}{AB}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}$

$\cot A = \frac{AB}{BC}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$

Daftar Pustaka:
Judul Posting: Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku-Siku
Penulis: https://dumatika.id/perbandingan-trigonometri-pada-segitiga-siku-siku/

Tahun Posting: April 2020

ALLISYA VITA DWI SAVITRI

Selasa, 11 Januari 2022

SUDUT-SUDUT BERELASI

SOAL KONTEKSTUAL BERKAITAN PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU, SUDUT ELEVASI DAN SUDUT DEPRESI

Senin, 03 Januari 2022

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU

AC² = AB² + BC²

Perbandingan Trigonometri

REMEDIAL PAT MATEMATIKA

Mengenai Saya