A. Transformasi geometri: Translasi, Rotasi, Refleksi, dan Dilatasi
Transformasi geometri ini merupakan salah satu materi dari mata pelajaran matematika. Umumnya materi geometri ditemui oleh siswa pada kelas 9 SMP sampai SMA kelas 11.
Transformasi Geometri ini pada dasarnya materi yang membahas terkait perubahan dari suatu bidang. Terjadinya transformasi geometri ini sebenarnya terjadi dalam kehidupan kita sehari-hari. Dalam matematika biasanya digambarkan lewat sebuah titik titik tertentu.
Untuk memahami materi transformasi geometri, artikel ini akan menjelaskan mengenai materi transformasi geometri beserta jenis, rumus, dan contohnya.
Pengertian Transformasi Geometri
Sebelum mengetahui pengertian dari transformasi geometri. Kita jabarkan lebih dulu apa itu arti transformasi dan apa itu geometri. Transformasi berarti perubahan sebuah struktur menjadi bertambah, berkurang atau tertata kembali unsurnya. Sedangkan geometri berarti cabang matematika yang menjelaskan soal sifat garis, sudut, bidang, dan ruang.
Berdasarkan dua definisi tersebut transformasi geometri dapat disimpulkan sebagai perubahan bentuk dari sebuah garis, sudut, ruang, dan bidang.
Dalam kehidupan sehari-hari, transformasi geometri ini biasanya dimanfaatkan untuk pembuatan karya-karya seni dan desain arsitektur.
Jenis-jenis Transformasi Geometri
Transformasi geometri itu sendiri terdiri dari empat jenis, yaitu translasi, rotasi, refleks, dan dilatasi.
Berikut adalah pemaparan lengkap masing-masing jenis transformasi geometri:
1. Translasi (Pergeseran)
Translasi atau pergeseran merupakan jenis dari transformasi geometri di mana terjadi perpindahan atau pergeseran dari suatu titik ke arah tertentu di dalam sebuah garis lurus bidang datar. Akibatnya, setiap bidang yang ada di garis lurus tersebut juga akan digeser dengan arah dan jarak tertentu.
Translasi pada dasarnya hanya mengubah posisi, bukan bentuk dan ukuran dari bidangnya.
Contoh sederhana dari translasi adalah peristiwa yang terjadi di perosotan. Dimana orang yang sama dengan sebuah bidang berpindah posisi dari titik awal (awal perosotan) dan titik akhir (ujung perosotan). Contoh lainnya adalah kendaraan yang berjalan di jalan lurus, dari kejadian itu bisa dilihat bahwa kendaraan yang merupakan objek tidak mengalami perubahan ukuran tetapi hanya berpindah tempat.
Rumus dari translasi itu sendiri adalah:
(x’,y’) = (a,b) + (x,y)
Keterangan:
x’, y’ = titik bayangan
x,y = titik asal
a,b = vektor translasi
Contoh soal transformasi geometri jenis translasi
Tentukan titik bayangan jika titik A adalah (2, 4) dan ditranslasikan menjadi (6, 3)
Jawab:
(x’, y’) = (x +a, y+b)
(x’, y’) = (2+6, 4+3)
(x’, y’) = (8, 7)
Maka titik bayangannya ada di (8, 7)
2. Rotasi (Perputaran)
Rotasi atau juga dikenal dengan perputaran dalam transformasi geometri sesuai dengan namanya berarti sebuah perputaran yang ditentukan oleh titik pusat rotasi, arah rotasi, dan juga besar dari sudut rotasi. Prinsipnya adalah memutar terhadap sudut dan titik pusat yang memiliki jarak yang sama dengan titik yang diputar.
Karena hanya berputar, maka transformasi ini tidak mengubah bentuk atau ukuran dari sebuah bidang.
Contoh sederhananya adalah cara kerja dari bianglala di mana lingkaran memutari titik tengah. Contoh lainnya adalah dalam gangsing. Cara kerja gangsing nyaris sama dengan bianglala karena berputar mengitari titik tengah.
Ada beberapa Rumus dari rotasi, yaitu:
Rotasi 90 derajat dengan pusat (a, b): (x,y) maka (-y + a + b, x – a + b)
Rotasi 180 derajat dengan pusat (a,b) : (x,y) maka (-x -2a, -y +2b)
Rotasi sebesar -90 derajat dengan pusat (a, b) : (x, y) maka (y – b + a, -x + a + b)
Rotasi sebesar 90 derajat dengan pusat (0, 0) : (x, y) maka (-y,x)
Rotasi 180 derajat dengan pusat (0,0) : (x, y) maka (-x, -y)
Rotasi sebesar -90 derajat dengan pusat (0,0) : (x, y) maka (y, -x)
Contoh soal transformasi geometri jenis rotasi
Sebuah titik A (3,2) dirotasikan terhadap titik O (0,0) sejauh 90 derajat searah dengan jarum jam. Tentukanlah bayangan dari titik A.
Jawab:
(x’, y’) = (cos90osin 90o, –sin 90o cos 90o) (3,2)
(x’, y’) = (0 1 , -1 0) (3,2)
(x’, y’) = (-2,3)
3. Refleksi (Pencerminan)
Refleksi atau pencerminan dalam transformasi geometri berarti perubahan dengan memindahkan titik dengan sifat dari suatu cermin datar. Ada dua sifat yang dimiliki dalam transformasi refleksi. Pertama adalah jarak titik ke cermin sama dengan jarak bayangan titik ke cermin. Kedua adalah geometri yang dicerminkan saling berhadapan satu sama lain.
Contoh sederhana dari refleksi ini tentunya adalah ketika kita sedang bercermin.
Rumus umum dari refleksi antara lain:
Refleksi terhadap sumbu -x : (x,y) maka (x, -y)
Refleksi terhadap sumbu -y : (x,y) maka (-x, y)
Refleksi terhadap garis y = x : (x, y) maka (y, x)
Refleksi terhadap garis y = -x : (x, y) maka (-y, -x)
Refleksi terhadap garis x = h : (x, y) maka (2h, -x,y)
Refleksi terhadap garis y = K : (x. y) maka (x, 2k – y)
Contoh soal transformasi geometri jenis refleksi
Tentukanlah koordinat bayangan dari titik A jika Titik A (4, -2) dicerminkan terhadap sumbu x.
Jawab:
A : (a,b) maka A’ (a, -b)
Maka:
A (4, -2) maka A’ (-4, -2)
4. Dilatasi (Perkalian)
Dilatasi merupakan transformasi atau perubahan ukuran dari sebuah objek. Dalam dilatasi terdapat dua konsep, yaitu titik dan faktor dari dilatasi.
Titik dari dilatasi menentukan posisi dari dilatasi. Titik ini menjadi tempat pertemuan dari semua garis lurus yang menghubungkan antara titik dalam suatu bangunan ke titik hasil dilatasi.
Sedangkan faktor dilatasi adalah faktor perkalian dari suatu bangun yang sudah didilatasikan.
Contoh sederhana dari dilatasi adalah miniatur. Miniatur biasanya dalam bentuk mainan, seperti mobil-mobilan. Mainan merupakan pengecilan dari sebuah objek besar. Contoh lainnya adalah ketika kita mencetak sebuah foto. Foto tersebut bisa dicetak dengan ukuran-ukuran tertentu tetapi tidak mengubah bentuk dari foto tersebut, mulai dari 2×3, 3×4, sampai 4×6 fotonya tetap sama, hanya ukurannya yang berbeda.
Rumus umum dari dilatasi antara lain:
Dilatasi dengan pusat (0, 0) dan faktor skala k : (x, y) maka (kx, ky)
Dilatasi dengan pusat (0, 0) dan faktor skala k : (x, y) maka (kx = k(x-a) + a, (k(y-b) + b))
Contoh soal transformasi geometri jenis dilatasi
Titik A (2,4) akan didilatasikan sebesar tiga kali, dengan pusat yang berada di (-4,2), maka tentukanlah titik A
Jawab:
(x, y) = k(x-a) + a, K(y – b) + b
(2, 4) = 6(2 – (-4)) + (-4), 6(4 – 2) + 2
(2, 4) = (32, 14)
Maka letak titik A dari (2, 4) dengan dilatasi (-4,2) adalah (32, 14)
Demikian adalah pembahasan mengenai materi transformasi geometri beserta jenisnya.
B. Gambar Translasi, Refleksi, Rotasi, Dilatasi dan Komposisi Transformasi
Translasi (Pergeseran)
Materi pertama tentang rumus pada transformasi geometri yang akan dibahas adalah persamaan translasi (pergeseran). Translasi merupakan perubahan objek dengan cara menggeser objek dari satu posisi ke posisi lainnya dengan jarak tertentu. Penentuan hasil objek melalui translasi cukup mudah, caranya hanya dengan menambahkan absis (x) dan ordinat (y) dengan jarak tertentu sesuai dengan ketentuan.
Sebuah titik pada awalnya terletak pada titik P(x, y). Setelah mengalami translasi pertama, letak titik P(x, y) menjadi berada di titik P'(x + a, y + b). Translasi kedua membuat titik P(x, y) menjadi terletak pada titik P”(x + a + p, y + b + q). Sebagai contoh sederhana, translasi titik P(2, 5) oleh T(1, 4) akan merubah letak titik P menjadi berada pada titik P'(2+1. 5+4) = P'(3, 9).
Refleksi (Pencerminan)
Pembahasan berikutnya adalah pencerminan atau yang lebih sering disebut dengan refleksi. Sebuah objek yang mengalami refleksi akan memiliki bayangan benda yang dihasilkan oleh sebuah cermin. Hasil dari refleksi pada bidang kartesius tergantung sumbu yang menjadi cerminnya. Ada tujuh jenis sumbu yang dapat menjadi cermin antara lain adalah refleksi terhadap sumbu x, sumbu y, garis y = x, garis y = -x, titik O (0,0), garis x = h, dan garis y = k.
Berikut ini adalah ringkasan daftar matriks transformasi geometri hasil dari refleksi/pencerminan suatu obyek,
Pencerminan terhadap sumbu x
Pada pencerminan terhadap sumbu x, nilai absis tetap dan ordinat menjadi kebalikannya. Letak titik A(a, b) menjadi berada pada titik A'(a, -b) karena pencerminan terhadap sumbu x.
Pencerminan Terhadap Sumbu y
Pencerminan terhadap sumbu y, merupakan kebalikan dari pencerminan terhadap sumbu x. Di mana nilai absis menjadi kebalikannya dan nilai ordinatnya tetap. Letak titik A(a, b) menjadi berada pada titik A'(-a, b) karena pencerminan terhadap sumbu y.
Pencerminan terhadap Garis y = x
Pada pencerminan terhadap garis y = x akan mengakibatkan nilai absis menjadi ordinat dan nilai ordinat akan menjadi absis. Letak titik A(a, b) menjadi berada pada titik A'(b, a) karena pencerminan terhadap sumbu y = x.
Pencerminan terhadap Garis y = -x
Pencerminan terhadap garis y = -x akan membuat nilai absis menjadi kebalikan dari ordinat, sedangkan nilai ordinat akan menjadi kebalikan dari absis. Letak titik A(a, b) menjadi berada pada titik A'(-b, -a) karena pencerminan terhadap sumbu y = -x.
Pencerminan terhadap Titik Asal O(0,0)
Pencerminan pada titik asal artinya melakukan pencerminan terhadap titik O (0,0). Hasil pencerminan terhadap titik asal adalah nilai absis dan ordinat menjadi kebalikannya. Letak titik A(a, b) menjadi berada pada titik A'(-a, -b) karena pencerminan terhadap titik asal O(0, 0).
Pencerminan terhadap Garis x = h
Pencerminan terhadap garis x = h akan membuat titik absis bergeser sejauh 2h, sedangkan nilai titik ordinatnya tetap. Letak titik A(a, b) menjadi berada pada titik A'(2h – a, b) karena pencerminan terhadap sumbu x = h.
Pencerminan terhadap Garis y = k
Pencerminan terhadap garis y = k akan membuat titik ordinatnya bergeser sejauh 2k, sedangkan nilai titik absisnya tetap. Letak titik A(a, b) menjadi berada pada titik A'(a, 2k – b) karena pencerminan terhadap sumbu y = k.
Rotasi (Perputaran)
Rotasi atau perputaran merupakan perubahan kedudukan objek dengan cara diputar melalui pusat dan sudut tertentu. Besarnya rotasi dalam transformasi geometri sebesar α disepakati untuk arah yang berlawanan dengan arah jalan jarum jam. Jika arah perputaran rotasi suatu benda searah dengan jarum jam, maka sudut yang dibentuk adalah –α. Hasil rotasi suatu objek tergantung dari pusat dan besar sudut rotasi.
Perhatikan perubahan letak kedudukan segitiga yang diputar sebesar 135o dengan pusat O(0,0) pada gambar di bawah.
Cara menentukan hasil rotasi suatu obyek dapat dengan menggunakan rumus pada transformasi geometri untuk rotasi seperti persamaan-persamaan di bawah.
Rotasi dengan Pusat O(0,0) sebesar α
Rotasi dengan pusat O(0,0) sebesar α derajat akan memutar titik koordinatnya sebesar α berlawanan arah jarum jam. Untuk mendapatkan titik bayangan dapat menggunakan persamaan matrik transformasi rotasi berikut.
Rotasi dengan Pusat (m,n) sebesar α
Prinsip pada rotasi dengan pusat P(m, n) sebesar α sama dengan rotasi dengan pusat O(0,0) sebesar α. Arah rotasinya berlawanan arah jarum jam, yang menjadi pembeda adalah titik pusat rotasinya. Persamaan matrik transformasi rotasi untuk menentukan bayangannya adalah sebagai berikut.
Rotasi dengan pusat (0,0) sebesar α kemudian sebesar β
Rotasi juga dapat dilakukan lebih dari satu kali. Berikut ini adalah matrik rotasi untuk menentukan bayangan oleh rotasi dengan pusat O(0,0). Rotasi pertama sebesar α derajat. Selanjutnya adalah rotasi sebesar β derajat.
Rotasi dengan pusat P(m,n) sebesar α kemudian sebesar β
Selain itu, rotasi juga dapat dilakukan lebih dari satu kali dengan pusat rotasi pada titik P. Berikut ini adalah matrik rotasi untuk menentukan bayangan oleh rotasi dengan pusat P(m,m). Rotasi dilakukan berturut-turut untuk sudut α dilanjutkan β derajat.
Dilatasi
Dilatasi disebut juga dengan perbesaran atau pengecilan suatu objek. Jika transformasi pada translasi, refleksi, dan rotasi hanya mengubah posisi benda, maka dilatasi melakukan transformasi geometri dengan merubah ukuran benda.
Ukuran benda hasil dilatasi dapat menjadi lebih besar atau lebih kecil. Perubahan ini bergantung pada skala yang menjadi faktor pengalinya. Rumus dalam dilatasi ada dua, yang dibedakan berdasarkan pusatnya. Persamaan untuk menentukan hasil dilatasi suatu obyek dapat menggunakan matriks transformasi geometri berikut.
Dilatasi titik A(a, b) terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala m
Matriks dilatasi dengan titik A(a, b) terhadap titik pusat O(0,0), dengan faktor skala m adalah sebagai berikut.
Dilatasi titik A(a, b) terhadap pusat P(k, l) dengan faktor skala m
Matriks dilatasi dengan titik A(a, b) terhadap titik pusat P(k, l) dengan faktor skala m adalah sebagai berikut.
Komposisi Transformasi
Matriks komposisi translasi
Sumber: Dokumentasi penulis
Matriks komposisi refleksi
Sumber: Dokumentasi penulis
Matriks komposisi rotasi
C. LatihanTranslasi, Refleksi, Rotasi, Dilatasi dan Komposisi Transformasi
1. Bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y= x adalah. . .
Jawaban : C
Pembahasan :
2. Persamaan bayangan kurva y = x² – 2x – 3 oleh rotasi [0, 180°], kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis y = -x adalah ….
A. y = x² – 2x – 3
B. y = x² – 2x + 3
C. y = x² + 2x + 3
E. x = y² + 2y + 3
Jawaban : D
Pembahasan :
Rotasi sudut-sudut yang lain dapat dihitung sendiri menggunakan kaidah trigonometri.
pencerminan terhadap garis y = -x
3. Persamaan bayangan dari lingkaran x² +y² +4x – 6y – 3 = 0 oleh transformasi yang berkaitan dengan matriks adalah….
A. x² + y² – 6x – 4y- 3 = 0
B. X² + y² – 6x + 4y- 3 = 0
C. x² + y² + 6x – 4y- 3 = 0
D. x² + y² – 4x + 6y- 3 = 0
E. x² + y² + 4x – 6y+ 3 = 0
Jawaban : A
Pembahasan :
Persamaan peta kurva y = x² – 3x + 2 karena pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasai dengan pusat O dan factor skala 3 adalah…
A. 3y + x² – 9x + 18 = 0
B. 3y – x² + 9x – 18 = 0
C. 3y – x² + 9x + 18 = 0
D. 3y + x² + 9x + 18 = 0
E. y + x² + 9x – 18 = 0
Jawaban : A
Pembahasan :
pencerminan terhadap sumbu x:
P ( x , y ) → P ‘ ( x , – y )
Dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan factor skala 3 :
[O, k] : P(x,y) → P'(kx, ky)
[O,3k] : P(x,y) → P'(3x, 3y)
pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasai dengan pusat O dan factor skala 3 :
P(x,y) → P ‘(x, -y) → P ”(3x, -3y)
5. T1 dan T2 adalah transformasi yang masing-masing bersesuaian dengan Ditentukan T = T1 o T2 , maka transformasi T bersesuaian dengan matriks…
adalah…. 
Ditentukan T = T1 o T2 , maka transformasi T bersesuaian dengan matriks…
