SOAL PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN RASIONAL DAN IRASIONAL

Nama: Allisya VIta Dwi Savitri

Kelas: X IPS 1

Absen: 3

Soal Persamaan Rasional

1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan rasional 

x – 1

2

 – 

3x

4

 = 0

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita gunakan metode pindah ruas dan kali silang. Ketika memindahkan angka atau variabel dari satu ruas ke ruas lainnya kita ganda negatif menjadi positif atau sebaliknya. Jadi jawaban soal diatas sebagai berikut:

→ 

x – 1

2

 = 

3x

4

→ 4 (x – 1) = 2. 3x
→ 4x – 4 = 6x
→ 4x – 6x = 4
→ -2x = 4
→ x = 

-4

2

 = -2

2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan rasional dibawah ini.

1 . 

x + 1

x – 2

 = 2
2. 

2x – 4

x + 1

 = 4

Penyelesaian soal

Cara menjawab soal 1 sebagai berikut:

• x + 1 = 2 (x – 2) atau x + 1 = 2x – 4
• x – 2x = -4 – 1
• -x = -5
• x = 5

Cara menjawab soal 2 sebagai berikut:

• 2x – 4 = 4 (x + 1)
• 2x – 4 = 4x + 4
• 2x – 4x = 4 + 4
• -2x = 8
• x = 8/-2 = -4

3. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan rasional berikut.

x – 3

x – 1

 + 

x – 2

x – 1

 = 4

Penyelesaian soal

Cara menjawab soal nomor 3 kita jumlahkan ruas kiri sehingga diperoleh:

→ 

x – 3 + (x – 2)

x – 1

 = 4
→ 

2x – 5

x – 1

 = 4
→ 2x – 5 = 4 (x – 1)
→ 2x – 5 = 4x – 4
→ 4x – 2x = -5 + 4
→ 2x = -1
→ x = -1/2

Soal Pertidaksamaan Rasional

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan rasional dari 

x – 4

x – 1

 ≥ 0

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini tentukan terlebih dahulu syarat pertidaksamaan yaitu x – 1 ≠ 0 atau x ≠ 1.

Selanjutnya kita buat pembuat nol sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:

• x – 4 = 0 maka x = 4
• x – 1 = 0 maka x = 1

Kemudian kita buat garis bilangan sebagai berikut:

Untuk menentukan tanda + atau – pada garis bilangan diatas kita ambil satu angka yang lebih kecil dari 1 (misalkan 0). Angka 0 kita subtitusi ke (x – 4)/(x – 1) maka didapat (0 – 4)/(0 – 1) = + 4. Jadi tanda garis bilangan di sebelah kiri 1 adalah + lalu kita buat selang seling untuk tanda garis bilangan selanjutnya.

Karena notasi pertidaksamaan lebih dari sama dengan maka himpunan penyelesaian (x – 4)/(x – 1) terletak pada garis bilangan bertanda + atau pada interval x < 1 atau x ≥ 4.

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan rasional 

2x + 4

x – 2

 ≺ 0

Penyelesaian soal

Syarat pertidaksamaan soal nomor 2 adalah x – 2 ≠ 0 atau x ≠ 2. Kemudian kita buat pembuat nol sehingga diperoleh:

• 2x + 4 = 0 maka x = -2
• x – 2 = 0 maka x = 2

Karena notasi pertidaksamaan soal ini adalah kurang dari maka interval himpunan penyelesaian berada di tanda negatif atau -2 < x < 2.

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan rasional 

x2 – 4x + 4

x + 1

 ≺ 0

Penyelesaian soal

Pembilang pada soal diatas kita faktorkan sehingga bentuk soal menjadi:

(x – 2) (x – 2)

x + 1

Syarat yang berlaku pertidaksamaan diatas adalah adalah x + 1 ≠ 0 atau x ≠ -1.

Selanjutnya kita tentukan pembuat nol sebagai berikut:

• (x – 2) (x – 2) = 0 maka diperoleh x = 2.
• x + 1 = 0 maka x = – 1

Selanjutnya kita buat garis bilangan sebagai berikut:

• Untuk x > 2 kita ambil angka 3 lalu subtitusi ke x2 – 4x + 4/x + 1 maka diperoleh 32 – 4 . 3 + 4/3 + 1 = + 1/4. Jadi tanda garis bilangan setelah 2 adalah positif.
• Untuk interval -1 < x < 2 kita angka nol lalu subtitusi seperti poin diatas sehingga didapat 02 – 4 . 0 + 4/0 + 1) = + 4. Jadi tanda garis bilangan diantara – 1 hingga 2 adalah negatif.
• Untuk interval x < -1 kita ambil angka -2 lalu subtitusi seperti 2 poin diatas maka hasilnya – 8. Jadi tanda garis bilangan sebelum -1 adalah negatif. Jika digambarkan seperti dibawah ini.

Jadi interval yang memenuhi adalah x < – 1

Soal persamaan irasional

1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan irasional √ x – 1   = x – 3

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal 1 kita tentukan dahulu syarat agar persamaan irasional berlaku yaitu:

• x – 1 ≥ 0 atau x ≥ 1.
• x – 3 ≥0 atau x ≥ 3.

Ambil syarat yang terbesar sehingga syarat yang berlaku pada persamaan irasional soal nomor 1 adalah x ≥ 3.

Selanjutnya kita hilangkan tanda akar dengan cara mengkuadratkan kedua ruas persamaan seperti dibawah ini:

• ( √ x – 1 )2 = (x – 3)2
• (x – 1) = x2 – 6x + 9
• x2 – 6x – x + 9 + 1 = 0
• x2 – 7x + 10 = 0
• (x – 2) (x – 5) = 0
• x = 2 atau x = 5

Karena syarat yang berlaku pada persamaan nomor 1 adalah x ≥ 3 maka nilai x yang memenuhi adalah x = 5. Jadi soal nomor 1 jawabannya adalah x = 5.

Untuk memeriksa apakah jawaban ini benar atau salah maka caranya cukup mudah yaitu dengan subtitusi x = 5 ke persamaan irasional nomor 1:

• √ x – 1 = x – 3
• √ 5 – 1 = 5 – 3
• √ 4 = 2
• 2 = 2

Kita lihat jawabannya sesuai.

Jika x = 2 kita subtitusi ke persamaan maka hasilnya sebagai berikut:

• √ 2 – 1 = 2 – 3
• 1 = – 1.

Kita lihat hasilnya tidak sesuai.

2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan irasional √ x2 – 9   = √ x + 3   .

Penyelesaian soal

Sama seperti nomor 1, kita tentukan dahulu syarat persamaan irasional yaitu:

• x2 – 9 ≥ 0 atau x2 ≥ 9 → x ≤ -3 atau x ≥ 3.
• x + 3 ≥ 0 atau x ≥ -3.

Kita lihat syarat pertama x ≤ -3 dan yang kedua x ≥ -3 jadi syarat yang berlaku adalah x = -3 dan x ≥ 3.

Setelah itu kita kuadratkan kedua ruas persamaan irasional sehingga didapat:

• (√ x2 – 9 )2 = ( √ x + 3 )2.
• x2 – 9 = x + 3
• x2 – x – 9 – 3 = 0
• x2 -x – 12 = 0
• (x – 4) (x + 3) = 0
• x = 4 atau x = -3

Berdasarkan syarat kedua nilai x memenuhi sehingga jawaban soal ini adalah x = – 3 dan x = 4.

Soal Pertidaksamaan Irasional

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irasional √ x – 5   < 2.

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita tentukan terlebih dahulu syarat agar pertidaksamaan irasional berlaku yaitu:

• x – 5 ≥ 0
• x ≥ 5

Selanjutnya kita kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan irasional sehingga didapat:

• (√ x – 5 )2 < 22.
• x – 5 < 4
• x < 4 + 5 atau x < 9

Lalu kita buat garis bilangan untuk menentukan irisan antara syarat x ≥ 5 dan x < 9.

Irisan pertidaksamaan irasional nomor 1

Berdasarkan gambar diatas maka himpunan pertidaksamaan irasional nomor 1 adalah 5 ≤ x < 9.

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irasional √ x – 1   > 2

Penyelesaian soal

Syarat yang berlaku pada pertidaksamaan irasional diatas sebagai berikut:

• x – 1 ≥ 0.
• x ≥ 1.

Kemudian kita kuadratkan pertidaksamaan diatas sehingga didapat:

• ( √ x – 1 )2 > 22
• x – 1 > 4
• x > 4 + 1
• x > 5

Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan ini adalah x > 5.

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irasional √ 16 – x2   ≤ x + 4.

Penyelesaian soal

Syarat pertidaksamaan irasional:

• 16 – x2 ≥ 0.
• x2 – 16 ≤ 0.
• (x – 4)(x + 4) ≤ 0.
• x = 4 dan x = -4
• -4 ≤ x ≤ 4

Kemudian kita kuadratkan pertidaksamaan seperti dibawah ini:

• ( √ 16 – x2 )2 ≤ (x + 4)2
• 16 – x2 ≤ x2 + 8x + 16
• 16 – x2 – x2 – 8x – 16 ≤ 0
• -2x2 – 8x ≤ 0
• 2x2 + 8x > 0
• 2x (x + 4) > 0
• x ≤ – 4 dan x ≥ 0

Lalu kita buat garis bilangan antara syarat dengan hasil diatas sebagai berikut:

Jadi berdasarkan gambar diatas maka himpunan penyelesaian soal nomor 2 adalah x = -4 dan 0 ≤ x ≤ 4.

Daftar Pustaka 

Judul Postingan: Soal Persamaan Dan Pertidaksamaan Rasional Dan Irasional

Penulis: soalfismat.com

Tahun Posting: Juli 2019