Sistem Pertidaksamaan Kuadrat-Kuadrat

Nama: Allisya Vita Dwi Savitri 

Kelas: X IPS 1

Absen: 3

Pertidaksamaan Kuadrat

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut :

ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c ≥ 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≤ 0

a, b, c bilangan real dan a ≠ 0.

Langkah-Langkah Penyelesaian 

Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat bisa ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut yang dijelaska dibawah ini :

Langkah 1

Tentukanlah pembuat nol dengan cara merubah tanda pertidaksamaan hingga menjadi “sama dengan”. Akar-akar persamaan kuadrat yang didapat yaitu pembuat nol.

x2 + x – 6 = 0 ,difaktorkan
menjadi (x +3)(x-2) = 0

Pembuat nol dari persamaan tersebut bisa dicari dengan memakai cara ini..

Pertama gunakan :
x + 3 = 0
x = -3

Kedua kita gunakan :
x – 2 = 0
x = 2

Maka, pembuat nolnya sudah didapat yaitu -3 dan 2. 

Langkah 2
Gambarlah pembuat nol pada garis bilangan, Lalu tentukan tanda masing-masing interval dengan cara mensubstitusi sembarang bilangan yang ada pada tiap interval ke persamaan pada ruas kiri. Tulis (+) adai hasil substitusi adalah bernilai positif dan tulis (−) jika hasil substitusi adalah bernilai negatif.

Catatan :
Tanda untuk tiap interval yaitu slalu berselang-seling (+)(−)(+) atau (−)(+)(−), kecuali jika akar-akar yang didapat sama (kembar)

Tips :
Jika akar-akar yang didapat berbeda, cukup cari tanda pada satu interval saja, sisanya tinggal ditulis berselang-seling mengikuti pola diatas. Dahulukan interval yang memuat angka nol agar perhitungan lebih mudah (jika nol bukan merupakan pembuat nol).

Langkah 3
Tentukanlah daerah penyelesaian atau arsiran.
Untuk pertidaksamaan “>” atau “≥”, daerah penyelesaian yang berada pada interval bertanda positif (+).
Untuk pertidaksamaan “<” atau “≤”, daerah pernyelesaian yang berada pada interval bertanda negatif (−).

Langkah 4
Tulis sebuah himpunan penyelesaian, yaitu interval yang memuat daerah penyelesaian.

Himpunan penyelesaian ada pada ujung-ujung interval

Contoh Soal: 

Contoh Soal 1
Tentukan HP dari −x² − 3x + 4 > 0

Jawab
Pembuat nol
−x² − 3x + 4 = 0
x² + 3x − 4 = 0
(x+4) (x−1) = 0
x = −4 atau x = 1

Untuk interval −4 < x < 1, ambil x = 0
−x² − 3x + 4 = −(0)² − 3(0) + 4 = 4 (+)

Karena pertidaksamaan bertanda “>” , Jadi, daerah penyelesaian ada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {−4 < x < 1}

Contoh Soal 2

Tentukanlah HP dari x² − 2x − 3 ≥ 0

Jawab
Pembuat nol
x² − 2x − 3 = 0
(x+1) (x−3) = 0
x = −1 atau x = 3

Untuk interval −1 < x < 3, ambil x = 0
x² − 2x − 3 = (0)² − 2(0) − 3 = −3 (−) 

Karena pertidaksamaan bertanda “≥” , Jadi, daerah penyelesaian ada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {x ≤ −1 atau x ≥ 3}

Contoh Soal 3
x(3x + 1) < (x + 1)² − 1

Jawab
Terlebih dulu ubah dalam bentuk umum pertidaksamaan kuadrat yaitu:
x(3x + 1) < (x + 1)² − 1
⇔ 3x² + x < x² + 2x + 1 − 1
⇔ 2x² − x < 0

Pembuat nol :
2x² − x = 0
x ( 2x − 1 ) = 0
x = 0 atau x = 1/2

Untuk interval x > 1/2 maka ambil x = 1
2x² − x = 2(1)² − 1 = 1 (+)

Sebab pertidaksamaan bertanda “<” , Jadi, daerah penyelesaian ada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {0 < x < 1/2}.

Daftar Pustaka:

Judul: Sistem Pertidaksamaan Kuadrat-Kuadrat

Penulis: Rumus.co.id by Azzahra Rahma

Tahun Posting: 3 Maret 2020.

Sistem Persamaan Kuadrat-Kuadrat

Nama: Allisya Vita Dwi Savitri

Kelas: X IPS 1

Absen: 3

Sistem Persamaan Kuadrat-Kuadrat (SPKK)

Merupakan sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan kuadrat yang masing-masing memuat dua variabel. SPKK memiliki beberapa macam bentuk, tetapi dalam artikel ini kita akan lebih banyak membahas bentuk yang paling sederhana, yaitu kedua persamaan kuadrat berbentuk eksplisit. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut.

y = ax2 + bx + c ……………. (bagian kuadrat pertama)

y = px2 + qx + r ……………. (bagian kuadrat kedua)

Dengan a, b, c, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real. 

Secara umum, untuk memperoleh penyelesaian SPKK dilakukan langkah-langkah sebagai berikut.

Langkah 1:

Subtitusikan bagian kuadrat persamaan pertama ke bagian kuadrat yang kedua atau sebaliknya sehingga diperoleh persamaan kuadrat baru.

Langkah 2:

Selesaikan persamaan kuadrat baru yang diperoleh pada langkah pertama.

Langkah 3:

Subtitusikan nilai x yang diperoleh pada langkah kedua ke persamaan pertama atau persamaan kedua. Untuk mempermudah perhitungan, silahkan kalian pilih persamaan kuadrat yang lebih sederhana.

Contoh Soal 1:

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.

y = x2

y = 2x2 – 3x

Jawab:

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 ke bagian kuadrat yang kedua y = 2x2 – 3x sehingga diperoleh:

⇒ x2 = 2x2

⇒ 2x2 – x2 – 3x = 0

⇒ x2 – 3x = 0

⇒ x(x – 3) = 0

⇒ x = 0 atau x = 3

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = 0 dan x = 3 ke bagian kuadrat yang pertama y = x2.

■ Untuk x = 0 diperoleh:

⇒ y = x2

⇒ y = (0)2

⇒ y = 0

■ Untuk x = 3 diperoleh:

⇒ y = x2

⇒ y = (3)2

⇒ y = 9

Dengan demikian, himpunan penyelesaian SPKK itu adalah {(0, 0), (3, 9)}. Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPKK tersebut secara geometris dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong antara parabola y = x2 dengan parabola y = 2x2 – 3x. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini.

Contoh Soal 2:

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.

y = x2 – 1

y = x2 – 2x – 3

Jawab:

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 – 1 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 – 2x – 3 sehingga diperoleh:

⇒ x2 – 1 = x2 – 2x – 3

⇒ x2 – x2 = –2x – 3 + 1

⇒ 2x = –2

⇒ x = –1

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = –1 ke persamaan y = x2 – 1 sehingga diperoleh:

⇒ y = x2 – 1

⇒ y = (–1)2 – 1

⇒ y = 1 – 1

⇒ y = 0

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah {(–1, 0)}. Tafsiran geometrinya adalah grafik parabola y = x2 – 1 dan parabola y = x2 – 2x – 3 berpotongan di satu titik, yaitu di (–1, 0). Perhatikan gambar di bawah ini.

Contoh Soal 3 :

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK jika diketahui persamaan y =  5x² dan y = 6x² – 7x?

Jawab:

Contoh soal sistem persamaan kuadrat kuadrat ini dapat diselesaikan dengan melakukan substitusi y = 5x² ke y = 6x² – 7x. Untuk itu hasilnya akan menjadi:
               5x² = 6x² – 7x
6x² – 5x² – 7x = 0
          x² – 7x = 0
         x(x – 7) = 0
  x = 0 atau x = 7
Selanjutnya nilai x di atas disubtsitusikan ke persamaan y =  5x². Maka :
Untuk x = 0 → y = 5x²
                      y = 5(0)²
                      y = 0
Untuk x = 7 → y = 5x²
                      y = 5(7)²
                      y = 245
Jadi himpunan penyelesaian SPKK tersebut ialah {(0, 0), (7, 245)}.

Contoh Soal 4:

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK jika persamaannya y = x² – 3 dan y = x² – 2x – 9?

Jawab:

Contoh soal sistem persamaan kuadrat kuadrat ini dapat diselesaikan dengan melakukan substitusi y = x² – 3 ke y = x² – 2x – 9. Untuk itu hasilnya akan menjadi seperti di bawah ini:

  x² – 3 = x² – 2x – 9
x² – x² = -2x – 9 + 3
      2x = -6
        x = -3

Setelah itu x = -3 disubstitusikan ke y = x² – 3. Maka:
y = x² – 3
y = (-3)² – 3
y = 6
Jadi himpunan penyelesaian SPKK tersebut ialah {(-3, 6)}.

Contoh Soal 5:

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.

y = −2x2

y = x2 + 2x + 1

Jawab:

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = −2x2 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 + 2x + 1 sehingga diperoleh:

⇒ −2x2 = x2 + 2x + 1

⇒ 2x2 + x2 + 2x + 1 = 0

⇒ 3x2 + 2x + 1 = 0

Persamaan kuadrat ini tidak mempunyai akar real karena nilai diskriminannya adalah bilangan negatif. Perhatikan perhitungan berikut ini.

D = b2 – 4ac

Dengan a = 3, b = 2 dan c = 1 sehingga:

⇒ D = (2)2 – 4(3)(1)

⇒ D = 4 – 12

⇒ D = –8

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah himpunan kosong atau ditulis sebagai {∅}. Tafsiran geometrisnya adalah grafik parabola y = −2x2 dan y = x2 + 2x + 1 tidak berpotongan dan tidak bersinggungan seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut ini.

Contoh Soal 6:

Misalkan diketahui SPKK berikut ini.

y = 3x2 + m

y = x2 – 2x – 8

■ Tentukan nilai m agar SPKK tepat mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.

■ Tentukan himpunan penyelesaian yang dimaksud itu.

Jawab:

Banyaknya anggota himpunan penyelesaian dari suatu SPKK ditentukan berdasarkan nilai diskriminan, dengan kriteria sebagai berikut.

1	Jika D > 0, SPKK mempunyai dua himpunan penyelesaian (parabola berpotongan di dua titik).
2	Jika D = 0, SPKK mempunyai satu himpunan penyelesaian (parabola berpotongan di satu titik atau saling bersinggungan).
3	Jika D < 0, SPKK tidak mempunyai himpunan penyelesaian (parabola tidak berpotongan atau bersinggungan).

Dengan demikian, agar SPKK tersebut tepat memiliki satu himpunan penyelesaian maka nilai diskriminan dari persamaan kuadrat gabungan harus sama dengan nol. Persamaan kuadrat gabungan didapat dengan mensubtitusikan persamaan kuadrat y = 3x2 + m ke persamaan kuadrat y = x2 – 2x – 8 sehingga diperoleh:

⇒ 3x2 + m = x2 – 2x – 8

⇒ 3x2 – x2 + 2x + 8 + m = 0

⇒ 2x2 + 2x + (8 + m) = 0

Dari sini kita peroleh persamaan kuadra gabungan, dengan nilai a = 2, b = 2 dan c = 8 + m. Agar persamaan kuadrat ini hanya memiliki satu himpunan penyelesaian maka D = 0, sehingga:

⇒ b2 – 4ac = 0

⇒ (2)2 – 4(2)(8 + m) = 0

⇒ 4 – 8(8 + m) = 0

⇒ 4 – 64 – 8m = 0

⇒ –60 – 8m = 0

⇒ 8m = –60

⇒ m = –60/8

⇒ m = –15/2

⇒ m = –7,5

Dengan demikian nilai m adalah –7,5.

Sekarang masukkan nilai m yang telah diperoleh ke persamaan kuadrat gabungan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut.

⇒ 2x2 + 2x + (8 + m) = 0

⇒ 2x2 + 2x + ((8 + (–7,5)) = 0

⇒ 2x2 + 2x + 0,5 = 0

Untuk menghilangkan desimal, kedua ruas kita kalian 2

⇒ 4x2 + 4x + 1 = 0

Kemudian, kita faktorkan untuk memperoleh nilai x

⇒ (2x + 1)2 = 0

⇒ (2x + 1) = 0

⇒ 2x = −1

⇒ x = −1/2

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = −1/2 ke persamaan y = x2 – 2x – 8 sehingga diperoleh:

⇒ y = x2 – 2x – 8

⇒ y = (−1/2)2 – 2(−1/2) – 8

⇒ y = 1/4 + 1 – 8

⇒ y = 1/4 –7

⇒ y = −27/4

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah {(−1/2, −27/4)}.

Daftar Pustaka:

Judul: Sistem Persamaan Kuadrat-Kuadrat

Penulis: blogmipa-matematika dan rpp.co.id by Eka Nur Amin

Tahun Posting: Desember 2017 dan Maret 2021