Bentuk umum SPLTV biasanya ditulis dengan bentuk sebagai berikut:
ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix +jy +kz = l
Dari bentuk di atas, x, y dan z merupakan variable atau peubah yang nilainya belum diketahui. Sedangkan a, b, c, d, e, f, g, h, I, j, k, dan l merupakan bilangan-bilangan real yang sudah diketahui nilainya. Nah, penyelesaian sistem persamaan linear tiga variable artinya menemukan nilai x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan penyusun sistem. Dengan kata lain, nilai tersebut harus menyebabkan ketiga persamaan bernilai benar.
Cara penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) hampir sama seperti sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV), hanya saja jumlah variabelnya saja yang berbeda. Sama seperti SPLDV, pada SPLTV juga dapat diselesaikan dengan beberapa metode seperti substitusi, metode eliminasi, dan metode campuran (eliminasi dan substitusi). Nah ada lagi metode penyelesaian yang akan dipelajari pada tingkat lanjut yakni metode determinan dengan menggunakan matriks.
Nah untuk memantapkan pemahaman kamu tentang penyelesaian persamaan linear tiga variabel, silahkan simak contoh soal cerita di bawah ini.
Contoh Soal 1
Ibu Yanti membeli 5 kg telur, 2 kg daging, dan 1 kg udang dengan harga Rp 305.000,00. Ibu Eka membeli 3 kg telur dan 1 kg daging dengan harga Rp 131.000,00. Ibu Putu membeli 3 kg daging dan 2 kg udang dengan harga Rp 360.000,00. Jika Ibu Aniza membeli 3 kg telur, 1 kg daging, dan 2 kg udang, berapah harga yang harus ia bayar?
Penyelesaian:
Misal x = harga telur, y = harga daging, dan z = harga udang.
Jumlah harga belanjaan ibu Yanti Rp 305.000 sehingga diperoleh persamaan:
5x + 2y + z = 305000
Jumlah harga belanjaan ibu Eka Rp 131.000 sehingga diperoleh persamaan:
3x + y = 131000
Jumlah harga belanjaan ibu Putu Rp 360.000 sehingga diperoleh persamaan:
3y + 2z = 360000
Jumlah harga yang harus dibayar Ibu Aniza dapat ditulis dengan persamaan = 3x + y + 2z
Diperoleh SPLTV yakni:
5x + 2y + z = 305000 . . . . pers (1)
3x + y = 131000 . . . . pers (2)
3y + 2z = 360000 . . . . pers (3)
Adapun metode yang akan dipilih dalam menyelesaikan SPLTV yakni metode subtitusi.
Langkah 1
Ubah persamaan 2 yakni:
3x + y = 131000
y = 131000 – 3x . . . . pers (4)
Langkah 2
Substitusi persamaan 4 ke persamaan 1, maka:
5x + 2y + z = 305000
5x + 2(131000 – 3x) + z = 305000
5x + 262000 – 6x + z = 305000
– x + z = 43000
z = 43000 + x . . . . persamaan 5
Langkah 3
Substitusi persamaan 5 ke persamaan 3, maka:
3y + 2z = 360000
3y + 2(43000 + x) = 360000
3y + 86000 + 2x = 360000
2x + 3y = 274000 . . . . pers (6)
Langkah 4
Substitusi persamaan 4 ke persamaan 6, maka:
2x + 3y = 274000
2x + 3(131000 – 3x) = 274000
2x + 393000 – 9x = 274000
– 7x = – 119000
x = – 119000/–7
x = 17000
Langkah 5
Substitusi nilai x ke persamaan 4 dan ke persamaan 5, maka:
y = 131000 – 3x
y = 131000 – 3(17000)
y = 80000
z = 43000 + x
z = 43000 + 17000
z = 60000
Langkah 6
Jumlah harga yang harus dibayar ibu Aniza yakni:
Ibu Dina = 3x + y + 2z
Ibu Dina = 3(17000) + 80000 + 2(60000)
Ibu Dina = 51000 + 80000 + 120000
Ibu Dina = 251000
Jadi, harga yang harus Ibu Aniza bayar adalah sebesar Rp 251.000,00
Contoh Soal 2
Pada hari Minggu Wayan, Candra, Agus dan Akbar membeli perlengkapan sekolah di toko buku “Subur”. Wayan membeli 4 buku, 2 bolpoin, dan 3 pensil dengan harga Rp26.000,00. Candra membeli 3 buku, 3 bolpoin, dan 1 pensil dengan harga Rp21.500,00. Agus membeli 3 buku, dan 1 pensil dengan harga Rp12.500,00. Jika Akbar membeli 1 buku, 2 bolpoin dan 2 pensil, berapakah harga yang harus ia bayar?
Penyelesaian:
Misalkan a = buku, b = bolpoin, dan c = pensil
Persamaan matematis untuk:
Wayan => 4a + 2b + 3c = 26000
Candra => 3a + 3b + c = 21500
Agus => 3a + c = 12500
Akbar => a + 2b + 2c = ?
Diperoleh SPLTV yakni:
4a + 2b + 3c = 26000 . . . . pers (1)
3a + 3b + c = 21500 . . . . pers (2)
3a + c = 12500 . . . . pers (3)
Adapun metode yang dipilih dalam menyelesaikan SPLTV ini yakni dengan menggunakan metode eliminiasi.
Langkah 1
Eliminasi variabel b pada persamaan 1 dan 2 yakni:
4a + 2b + 3c = 26000 x3
3a + 3b + c = 21500 x2
12a + 6b + 9c = 78000
6a + 6b + 2c = 43000
----------------------------- -
6a + 0 + 7c = 35000
=> 6a + 7c = 35000 . . . pers (4)
Langkah 2
Eliminiasi variabel c pada persamaan 3 dan 4, yakni:
3a + c = 12500 x7
6a + 7c = 35000 x1
21a + 7c = 87500
6a + 7c = 35000
----------------------- -
15a = 52500
a = 3500
Langkah 3
Substitusi nilai a ke persamaan 4, maka:
6a + 7c = 35000
6(3500) + 7c = 35000
21000 + 7c = 35000
7c = 14000
c = 2000
Langkah 4
Substitusi nilai a dan c ke persamaan 2, maka:
3a + 3b + c = 21500
3(3500) + 3b + 2000 = 21500
10500 + 3b + 2000 = 21500
12500 + 3b = 21500
3b = 9000
b = 3000
Langkah 5
Untuk menentukan harga yang harus Akbar bayar dapat dilakukan dengan memasukan nilai a, b dan c, yakni:
Harga = a + 2b + 2c
Harga = 3500 + 2(3000) + 2(2000)
Harga = 3500 + 6000 + 4000
Harga = 13500
Jadi harga yang harus Akbar bayar adalah sebesar Rp 13.500,00
Contoh Soal 3
Diketahui sebuah bilangan tiga angka. Jumlah angka-angka tersebut 11. Dua kali angka pertama ditambah angka kedua sama dengan angka ketiga. Angka pertama ditambah angka kedua dikurangi angka ketiga sama dengan – 1. Tentukan ketiga bilangan tersebut.
Penyelesaian:
Misalkan: x = bilangan pertama, y = bilangan kedua, z = bilangan ketiga
Persamaan matematis:
a + b + c = 11
2a + b = c => 2a + b – c = 0
a + b – c = – 1
Diperoleh SPLTV yakni:
a + b + c = 11 . . . . pers (1)
2a + b – c = 0 . . . . pers (2)
a + b – c = – 1 . . . . pers (3)
Langkah 1
Eliminasi c dengan menggunakan persamaan 1 dan 2 maka:
a + b + c = 11
2a + b – c = 0
----------------- +
3a + 2b = 11 . . . . . pers (4)
Langkah 3
Eliminasi b dan c dengan menggunakan persamaan 2 dan 3, maka:
2a + b – c = 0
a + b – c = – 1
------------------ -
a = 1
Langkah 4
Subtitusi nilai a ke persamaan 4, maka:
3a + 2b = 11
3(1) + 2b = 11
3 + 2b = 11
2b = 8
b = 4
Langkah 5
Subtitusi nilai a dan b ke persamaan 1, 2 atau 3, maka:
a + b + c = 11
1 + 4 + c = 11
5 + c = 11
c = 6
Jadi ketiga bilangan tersebut secara berurutan adalah 1, 4 dan 6
Contoh Soal 4
Dengan menggunakan metode determinan, tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini.
2x + y + z = 12
x + 2y – z = 3
3x – y + z = 11
Penyelesaian:
